დიფერენციალური განტოლება
დიფერენციალური განტოლება – განტოლება, რომელიც შეიცავს დამოუკიდებელ ცვლადებს, ერთ ან რამდენიმე საძიებელ (უცნობ) ფუნქციას და მათ ნებისმიერი რიგის წარმოებულებს:
- F(x, y, y', y",..., y(n)) = 0.
დიფერენციალური განტოლებები იყოფა ჩვეულებრივ დიფერენციალურ განტოლებებად, რომლებშიც, როგორც უცნობები, შედიან მხოლოდ ერთი ცვლადის ფუნქციები და კერძოწარმოებულიან დიფერენციალურ განტოლებებად, რომლებიც შეიცავენ რამდენიმე ცვლადის ფუნქციის კერძო წარმოებულებს. პერძოწარმოებულებიანი დიფერენციალური განტოლების მთავარი განსხვავება ჩვეულებრივისაგან ის არის, რომ მისი ზოგადი ამონახსნი დამოკიდებულია არა ნებისმიერ მუდმივებზე, არამედ ნებისმიერ ფუნქციებზე.
პირველი რიგის ჩვეულებრივი დიფერენციალური განტოლების ზოგიერთი სპეციალური ტიპი:
1. განტოლება განცალებადი ცვლადებით: y' = f1(x) / f2(y).
მისი ზოგადი ამონახსნია: ∫ f2(y)dy= ∫ f1(x)dx+C.
2. პირველი რიგის ერთგვაროვანი განტოლება ასეთი სახისაა: y' = f(y/x). ჩასმას u = y/x მივყევართ 1. განტოლებამდე: u' = [f(u) – u] / x.
3. განტოლება სრულ დიფერენციალებში:
- P(x,y) dx + Q(x,y) dy = 0,
სადაც მარცხენა მხარე წარმოადგენს სრულ დიფერენციალს dφ; ეს ნიშნავს, რომ სრულდება პირობა: ∂P/ ∂y = ∂Q / ∂x.
ზოგადი ამონახსნი (ინტეგრალი):
4. პირველი რიგის წრფივი განტოლება: y' + f(x) y = φ (x). ზოგადი ამონახსნია:
დიფერენციალური განტოლებები საშუალებას იძლევიან გამოვსახოთ დამოკიდებულებები ფიზიკური სიდიდეების ცვლილებებს შორის, და ამიტომაც აქვთ დიდი პრაქტიკული გამოყენება. მექანიკისა და ფიზიკის ძირითადი კანონები ჩაწერილია დიფერენციალური განტოლებების ფორმით, ხოლო ამ განტოლებების ინტეგრების ამოცანა წარმოადგენს მათემატიკის ერთ-ერთ მნიშვნელოვან ამოცანას.
მექანიკის და სხვა საბუნებისმეტყველო მეცნიერებების მოთხოვნილებათა უშუალო ზეგავლენით დიფერენციალურ განტოლებათა თეორია ჩაისახა XVII საუკუნის დამლევს დიფერენციალურ აღრიცხვასა და ინტეგრალურ აღრიცხვასთან ერთად. ეს ტერმინი პირველად ლაიბნიცმა შემოიღო ნიუტონისადმი გაგზავნილ წერილში (1676). განცალებად ცვლადებიან დიფერენციალურ განტოლებებს იკვლევდნენ ლაიბნიცი და მისი მოსწავლეები. ერთგვაროვანი განტოლებების ამოხსნის მეთოდი აღმოაჩინა იოჰან ბერნულიმ (1695). წრფივ განტოლებათა ამოხსნის მეთოდი გამოიგონა იაკობ ბერნულიმ (1695 წ., გამოიყენა ჩასმა y=uv), მანვე ამოხსნა „ბერნულის განტოლება“, რომელიც მიიყვანა წრფივ განტოლებამდე (1695). იაკობ ბერნულსავე ეკუთვნის განტოლების რიგის დაწევის იდეა პარამეტრის შემოტანით. იგივე ხერხი აღმოაჩინა და პირველმა გამოაქვეყნა ჯ. რიკატმა (1715). განტოლება სრულ დიფერენციალებში სრულად გამოიკვლიეს ეილერმა და კლერომ. დიფერენცირების რიგისაგან შედეგის დამოუკიდებლობის თეორემა პირველად ითვლებოდა აქსიომად. იგი დაამტკიცა ეილერმა (1734, 1735); მან დაადგინა პირობა, როცა გამოსახულება P(x,y)dx+ Q(x,y)dy არის ფუნქციის სრული დიფერენციალი. ერთდროულად იგივე შედეგი მიიღო კლერომ. კლერომ განსაზღვრა სრული დიფერენციალი და შემოიღო ეს ტერმინი.
როგორც წესი, ჩვეულებრივი დიფერენციალური განტოლების ამოხსნა კვადრატურებში (ე.ი. ელემენტარულ ფუნქციებში და მათ პირველყოფილებში) ხშირად შეუძლებელია. ამიტომ მათ ამოსახსნელად ფართოდ გამოიყენება მიახლოებითი მეთოდები: სასრული სხვაობის მეთოდი, გრაფიკული მეთოდი, მწკრივად გაშლა. დიდი მნიშვნელობა აქვს თვისებრივ მეთოდებს, რომლებიც საშუალებას იძლევიან მივუთითოთ ამოცანის ამოხსნის ამა თუ იმ თვისებაზე თვით ამონახსნის მოძებნის გარეშე.
კერძოწარმოებულებიანი დიფერენციალური განტოლების ან განტოლებათა სისტემის განსაკუთრებულობა მდგომარეობს იმაში, რომ კერძო ამონახსნის ცალსახა განსაზღვრისათვის აქ მოითხოვება არა ამა თუ იმ პარამეტრთა სასრული რაოდენობის მნიშვნელობის, არამედ რაიმე ფუნქციების მოცემა; ტიპიურ ამოცანას წარმოადგენს კოშის ამოცანა. პირველზე მაღალი რიგის ასეთი დიფერენციალური განტოლებებისათვის აგრეთვე განიხილება სასაზღვრო ამოცანები.
კერძოწარმოებულებიანი დიფერენციალური განტოლებები წარმოადგენენ ძირითად მათემატიკურ აპარატს ისეთი დარგების შესასწავლად, როგორიცაა დრეკადობის თეორია, ჰიდრომექანიკა, აერომექანიკა და სხვ.
