დრეკადობის თეორია

დრეკადობის თეორია – კლასიკური მექანიკის დარგი, რომელიც შეისწავლის მყარ სხეულებში გარე ძალების, გათბობით და სხვა ზემოქმედებით წარმოქმნილ გადაადგილებებს, დრეკად დეფორმაციებს და ძაბვებს.

დრეკადობის თეორია, როგორც მეცნიერება ჩამოყალიბდა XIX ს-ში. მას საფუძვლად უდევს მყარი სხეულების დრეკადობის თვისება – აღიდგინონ თავიანთი პირვანდელი ფორმა და მოცულობა გარე ზემოქმედების შეწყვეტისთანავე. ეს თვისება ახასიათებს ყველა მყარ სხეულს, მაგრამ მხოლოდ დეფორმაციის გარკვეულ საზღვრებში, რაც სხვადასხვა სხეულებისათვის სხვადასხვაა.

დრეკადობის თეორია იხილავს მხოლოდ სხეულების დაძაბულ დეფორმირებული მდგომარეობის განსაზღვრის ამოცანებს. ამ მიზნით რეალური მყარი სხეულები განიხილებიან, როგორც გარკვეული სახის მოდელები, რომლებსაც გარკვეულ პირობებში ახასიათებთ საერთო და ძირითადი თვისებები. მოცემული მყარი სხეულის აღებული მოდელის მიხედვით დრეკადობის თეორია იყოფა კლასიკურ, წრფივ და არაწრფივ თეორიად.

დრეკადობის კლასიკური თეორიის საგანს წარმოადგენს ისეთი მყარი სხეულების დაძაბულ - დეფორმირებული მდგომარეობა, რომელთა მოდელებს გააჩნიათ შემდეგი თვისებები:

1) უწყვეტობა;

2) იდეალური დრეკადობა;

3) ძაბვებსა და დეფორმაციებს შორის წრფივი დამოკიდებულება;

4) საკმაო სიხისტე (გადაადგილების სიმცირე);

5) ერთგვაროვნება;

6) იზოტროპულობა.

დრეკადობის წრფივი თეორია შეისწავლის ისეთი მყარი სხეულების დაძაბულ - დეფორმირებულ მდგომარეობას, რომლებიც შეიძლება იყვნენ არაერთგვაროვანი და ანიზოტროპიული, ე. ი. მათი მოდელის აუცილებელი თვისებებია ზემოჩამოთვლილი ექვსი თვისებიდან მხოლოდ პირველი ოთხი.

დრეკადობის კლასიკური თეორია წარმოადგენს დრეკადობის წრფივი თეორიის უმარტივეს შემთხვევას.

ტექნიკის განვითარებასთან ერთად სხვადასხვა კონსტრუქციებში ახალი დრეკადი ელემენტების გამოყენებამ წარმოშვა ისეთი ამოცანების ამოხსნის აუცილებლობა, რომლებიც წარმოადგენენ დრეკადობის არაწრფივი თეორიის საგანს. ეს ამოცანები შეიძლება იყვნენ ან გეომეტრიულად არაწრფივი (როცა სხეულებს არ გააჩნიათ საკმაო სიხისტე, მაგალითად, მოქნილი ღეროები), ან ფიზიკურად არაწრფივი (როდესაც სხეულები არ ემორჩილებიან ჰუკის კანონს), აგრეთვე გეომეტრიულად და ფიზიკურად არაწრფივი (როდესაც დეტალები დამზადებულია რეზინისაგან ან რომელიმე პლასტმასისაგან). ყველა ამ ამოცანაში მოდელის აუცილებელ თვისებად ითვლება უწყვეტობა და იდეალური დრეკადობა, ხოლო სხვა თვისებები დგინდება მყარი სხეულის თავისებურებებიდან გამომდინარე. ასე რომ, დრეკადობის არაწრფივ თეორიას აქვს უფრო ზოგადი თვისებები და მოიცავს ამოცანათა საკმაოდ ფართო კლასს, რომლებსაც აყენებს თანამედროვე ტექნიკა.

ჰუკის კანონის აღმოჩენა (1660) და ნავიეს ზოგადი განტოლებების დადგენა (1821) უეჭველად ორი მნიშვნელოვანი ეტაპია დრეკადობის თეორიის შექმნასა და მის განვითარებაში. ჰუკის კანონმა მოგვცა თეორიის აუცილებელი ექსპერიმენტული დასაბუთება. ეს კანონი და შემდგომ მისი განზოგადებული ფორმა შეადგენს დრეკადობის მათემატიკური თეორიის საფუძველს. ნავიეს ზოგადი განტოლებების დადგენამ შესაძლებელი გახადა დრეკადი სხეულების მცირე დეფორმაციებთან დაკავშირებული ყველა საკითხის მათემატიკურ გამოთვლებზე დაყვანა. სწორედ ნავიემ შემოიღო ძაბვის ცნება და შეუდგა ნაგებობის დაძაბული მდგომარეობის შესწავლას.

ამ ორ აღმოჩენას შორის არსებული საკმაოდ ხანგრძლივი დროის მანძილზე, დრეკადობის თეორიის ისტორიის ამ პირველი პერიოდის განმავლობაში (1638-1820), როდესაც მიმდინარეობდა სხვადასხვა კერძო პრობლემების კვლევა, იყო ერთი გარემოება, რომელსაც უნდა მისცემოდა ფართო განზოგადება; ეს გარემოება მდგომარეობდა ნივთიერებათა აგებულების ფიზიკური თეორიის განვითარებაში. სახელდობრ, დამკვიდრდა ნიუტონისეული კონცეფცია ნივთიერ სხეულებზე, რომლებიც შედგებიან უმცირესი ნაწილაკებისაგან და რომელთა ურთიერთქმედება ხორციელდება ცენტრალური ძალების საშუალებით. ნიუტონი თავის „მოლეკულებს“ თვლიდა სასრული ზომის და გარკვეული ფორმის ნაწილაკებად, რომლებიც მისმა მიმდევრებმა შემდგომ ნივთიერ წერტილებად „აქციეს“. ამ მხრივ აღსანიშნავია ბოშკოვიჩის თეორია, რომლის თანახმად ნივთიერი წერტილები არიან მხოლოდ ძალთა მუდმივი ცენტრები. ამ იდეას მიეკუთვნება ლაპლასის კაპილართა თეორია და პუასონის პირველი გამოკვლევა „დრეკადი ზედაპირის“ წონასწორობის შესახებ.

აღნიშნული პერიოდის განმავლობაში აღსანიშნავია დრეკადობის თეორიის განვითარების რამდენიმე საფეხური. სახელდობრ, დაგრძელებასა და ძვრას შორის განსხვავების რკვევამ საფუძველი ჩაუყარა დეფორმაციის ზოგად თეორიას; ღეროს კვეთის ელემენტზე მოქმედი ძალვების ცნება გახდა ძაბვათა თეორიის პირველი ნაბიჯები; გაღუნული ძელის ჩაღუნვის და ღეროს ან ფირფიტის რხევის აღსაწერად დიფერენციალური განტოლების გამოყენება შეიძლება ჩავთვალოთ გადაადგილებათა ზოგადი დიფერენციალური განტოლებების პირველ საფეხურებად; ამ განტოლებების მიღების საშუალება მოგვცა ნივთიერებათა აგებულების ნიუტონისეულმა კონცეფციამ და ჰუკის კანონმა; შესაძლო მუშაობათა პრინციპის განზოგადებამ ფართო გზა გაუხსნა როგორც დრეკადობის თეორიის, ასევე მათემატიკური ფიზიკის ყველა სხვა დარგის განვითარებას.

დრეკადობის თეორიის საფუძვლები თითქმის ერთდროულად შემუშავდა ნავიეს (1821), კოშის (1822), პუასონის (1829) მიერ. ერთმანეთისაგან დამოუკიდებლად მათ არსებითად მიიღეს ამ თეორიის ყველა ძირითადი განტოლება.

დრეკადობის მათემატიკური თეორიის ერთ-ერთი ფუძემდებელია პუასონი. 1819 წ-ს მან მონახა დრეკადობის თეორიის განტოლების ამოხსნა ერთი განზომილების შემთხვევაში, ხოლო 1829-1831 წლებში ორი და სამი განზომილების შემთხვევაში. მის სახელს ატარებს იზოტროპიული სხეულებისათვის დრეკადობის თეორიის ერთ-ერთი ძირითადი მუდმივა – პუასონის კოეფიციენტი.

ნავიესა და პუასონისაგან განსხვავებით განსაკუთრებით გამოირჩევა კოშის ნაშრომები. იყენებდა რა ნივთიერების აგებულების ნიუტონ-ბოშკოვიჩის თეორიას და მოლეკულური ძალების ჰიპოთეზას, კოში დაეყრდნო მეთოდს, სადაც გამოიყენება მყარი სხეულის სტატიკა და შემოიღო დეფორმაციისა და ძაბვის ცნებები, დაადგინა წონასწორობის დიფერენციალური განტოლებები, სასაზღვრო პირობები, დამოკიდებულება დეფორმაციებსა და გადაადგილებებს შორის, აგრეთვე, დამოკიდებულებები ძაბვებსა და დეფორმაციებს შორის იზოტროპიული სხეულებისათვის, რომლებიც დასაწყისში შეიცავენ ორ დრეკად მუდმივს.

დრეკადობის თეორიაში შემდგომი დიდი წვლილი შეიტანეს ლამემ და კლაპეირონმა, რომლებმაც დაამუშავეს დრეკადობის თეორიის საფუძვლები. დრეკადობის თეორიაში პირველი წიგნი დაწერა ლამემ – „ლექციები მყარი სხეულების დრეკადობის მათემატიკურ თეორიაში“ (1852).

გარდა ზემოხსენებული მეცნიერებისა დრეკადობის მათემატიკური თეორიის განვითარება მჭიდროდ არის დაკავშირებული ისეთი გამოჩენილი მეცნიერების სახელებთან, როგორიც იყვნენ ნიუტონი, იაკობ და დანიელ ბერნულები, ეილერი, ლაგრანჟი, იუნგი, ლაპლასი, სენ-ვენანი, კირხჰოფი, ფოგტი, ლიავი, ჰერცი, მიტჩელი, გრინი, კელვინი, ტიმოშენკო, ბუბნოვი, გალიორკინი, კოლოსოვი, მუსხელიშვილი და მრავალი სხვა.

დრეკადობის თეორიაში დეფორმაციის და ძაბვის კომპონენტების აღნიშვნებისა და შესაბამისი ტერმინოლოგიის საკითხი მრავალჯერ განიხილებოდა სხვადასხვა მეცნიერის მიერ. მაგალითად, კელვინი, პირსონი, ფოგტი და სხვები ცდილობდნენ ამ საკითხში შეეტანათ გარკვეული თანამიმდევრობა და ერთგვაროვნება.

ქვემოთ მოყვანილ ცხრილში მოცემულია დეფორმაციის და ძაბვის კომპონენტებისათვის ზოგიერთი მნიშვნელოვანი აღნიშვნა.

დეფორმაციის კომპონენტები

სტოქსი ლიავი	კელვინი თეტი	კირხჰოფი	სენ-ვენანი	პირსონი	კარმანი
exx, eyy, ezz eyz, ezx, exy	e, f, g a, b, c	xx, yy, zz yz, zx, xy	δx, δy, δz gyz, gzx, gxy	sx, sy, sz σyz, σzx, σxy	εx, εy, εz γyz, γzx, γxy

ძაბვის კომპონენტები

კირხჰოფი ლიავი	კელვინი	ლამე	სენ-ვენანი	პირსონი	კარმანი
Xx, Yy, Zz Yz, Zx, Xy	P, Q, R S, T, U	N1, N2, N3 T1, T2, T3	txx, tyy, tzz tyz, tzx, txy	x, yŷ, zẑ yẑ, z, xŷ	σx, σy, σz τyz, τzx, τxy

ძაბვისა და დეფორმაციის კომპონენტებისათვის კელვინის და თეტის აღნიშვნები მაშინვე სცნეს რელეიმ და მიჩელმა; ფართოდ გავრცელდა ძაბვის კომპონენტებისათვის კირხჰოფის აღნიშვნები; სამაგიეროდ დეფორმაციის კომპონენტებისათვის კირხჰოფის აღნიშვნებმა ვერ ჰპოვეს აღიარება. სიბრტყეზე ძაბვის კომპონენტებისათვის ფოგტი იყენებდა აღნიშვნებს: X_v, Y_v, Z_v, (v – სიბრტყის ნორმალია).

ამჟამად ფართოდ გამოიყენება დეფორმაციის კომპონენტებისათვის სტოქსის და კარმანის აღნიშვნები, ხოლო ძაბვის კომპონენტებისათვის – კირხჰოფისა და კარმანის აღნიშვნები.

მნიშვნელოვანი ყურადღება ექცეოდა ძაბვისა და დეფორმაციის ტერმინოლოგიას, აგრეთვე შესაბამისი ცნებების დაზუსტებას. მაგალითად, ტერმინს „დაძაბულობა“ კელვინი და თეტი იყენებდა სხვა აზრით ვიდრე პირსონი. ზუსტდებოდა განსხვავება „ძვრის“, „სუფთა ძვრის“ და „მარტივი ძვრის“ ცნებებს შორის.

ტერმინები „იუნგის მოდული“, „ძვრის მოდული“, „კუმშვის მოდული“ შემოღებულია კელვინის და თეტის მიერ. პირსონი მათ შესაბამისად „გაჭიმვის მოდულს“, „ძვრის მოდულს“ და „გაფართოების მოდულს“ უწოდებდა. იუნგის მოდულს ხშირად „დრეკადობის მოდულს“ უწოდებენ. პუასონის კოეფიციენტს პირსონი „გაჭიმვა-კუმშვის კოეფიციენტს“ უწოდებს.

დრეკადობის მათემატიკური თეორიის განვითარებაში მნიშვნელოვანი წვლილი მიუძღვით ქართველ მათემატიკოსებსაც. ამ დარგში მიღებული შედეგების მიხედვით საქვეყნოდაა ცნობილი ნ. მუსხელიშვილის, ი. ვეკუას, ვ. კუპრაძის და მრავალი სხვა სახელები.

თანამედროვე ტექნიკის მძაფრი განვითარება სულ ახალ და რთულ ამოცანებს აყენებს დეფორმირებადი სხეულების მექანიკის წინაშე. ტრადიციული მასალები იცვლება ახალი მაღალტემპერატურაგამძლე შენადნობებით, კომპოზიციური მასალებით, ზემტკიცე სხეულებით. ამდენად, დღესაც დიდი პრაქტიკული მნიშვნელობა ენიჭება დრეკადობის მათემატიკური თეორიის მეთოდებს. შეიქმნა ახალი – პლასტიკურობის, ცოცვადობის, ბლანტი – დრეკადობის თეორიები და სათანადო მეთოდები. ამ მეთოდებისა და სწრაფმოქმედი გამოთვლითი ტექნიკის გამოყენებით შესაძლებელი ხდება სხეულის დაძაბული მდგომარეობის განსაზღვრა ნებისმიერ წერტილში.

ამჟამად დრეკადობის თეორიას უწოდებენ „მყარი დეფორმირებადი სხეულების თეორიას“, სადაც მხედველობაში მიღებულია რეალური სხეულების ბლანტი და პლასტიკური თვისებებიც.

წყარო

მათემატიკის ენციკლოპედიური ლექსიკონი