წარმოებული

წარმოებული − y = f(x) ფუნქციის წარმოებული X₀ წერტილში ეწოდება ფუნქციის ნაზრდისა და არგუმენტის ნაზრდის ფარდობის ზღვარს (თუკი ეს არსებობს), როცა არგუმენტის ნაზრდი ნებისმიერად მიისწრაფვის ნულისაკენ, ე. ი.

წარმოებული ასე აღინიშნება: y'; dy / dx; f'(x); df(x) / dx.

წარმოებულის მოძებნის ოპერაციას გაწარმოება ეწოდება.

წარმოებულის ცნება წარმოიშვა ფიზიკის, მექანიკისა და მათემატიკის მრავალი ამოცანის ამოხსნასთან დაკავშირებით, პირველ ყოვლისა, წრფივი არათანაბარი მოძრაობისას სიჩქარის განსაზღვრისა და ნებისმიერი ბრტყელი წირისადმი მხების აგების ამოცანებთან დაკავშირებით.

მათემატიკის დარგს, რომელიც შეისწავლის ფუნქციის წარმოებულებს, დიფერენციალებს და მათი გამოყენების ხერხებს ფუნქციების გამოსაკვლევად, ეწოდება დიფერენციალური აღრიცხვა ამ დარგის დამოუკიდებელ მათემატიკურ დისციპლინად ჩამოყალიბება დაკავშირებულია ი. ნიუტონის და გ. ლაიბნიცის სახელებთან (XVII ს. მე-2 ნახ.).

სიტყვები ableiten, derivare („გაწარმოება“, „გამოყვანა“) პირველად გამოყენებული იყო ნიუტონისა და და ლაიბნიცის მიმოწერაში (1675 – 1677).

სახელწოდება „წარმოებული“ (derivare) შემოიღო ლაგრანჟმა შრომაში „ანალიზურ ფუნქციათა თეორია“ (1797). მასთან ერთად შემოვიდა ცნებები „მეორე წარმოებული, მესამე...“. ლაიბნიცი წარმოებულს უწოდებდა დიფერენციალურ ფარდობას, რაც აიხსნება მისი აღნიშვნით dy/dx, აგრეთვე ddy/dx² და ა.შ, (1684). ლაიბნიცისათვის ძირითადი ცნება იყო არა წარმოებული, არამედ დიფერენციალი.

ნიუტონი წარმოებულს უწოდებდა „ფლუქსიას“ (1665) და იყენებდა აღნიშვნებს რომლებიც დიდხანს შემორჩა ინგლისში; შემდგომში, სტამბური მოსაზრებების გამო, ლონდონის მათემატიკური საზოგადოების საბჭომ 1915 წელს ნიუტონისეულ აღნიშვნებს ამჯობინა აღნიშვნები: x',r',ϑ". ლაგრანჟმა 1770 წელს შემოიღო აღნიშვნები y' ან f'(x), აგრეთვე f "(x) და ა. შ., თუმცა ისინი უფრო ადრე გამოჩნდნენ ფონსენეს მემუარებში (1759). ფიქრობენ, რომ მემუარების ნაწილი მისთვის დაწერა ლაგრანჟმა ლუი არბოგასტის წიგნში (1800) პირველადაა ნახსენები ტერმინი „წარმოებული“ და შემოღებულია აღნიშვნა D_xy, Df(x), პირველი ასოს გამოყენებით ფრანგული სიტყვისა derivee (Derivation -დერივაცია – „გადახრა“, „გადაყვანა“). ამ ტერმინით სარგებლობა მაშინვე დაიწყო ლაგრანჟმა, ხოლო შემდეგ საყოველთაოდ გავრცელდა იმის გამო, რომ მას სისტემატურად იყენებდა კოში. აქ პირველად გაწარმოების (ოპერაციის) ნიშანი გამოყოფილია ფუნქციისაგან; სახით ეს გაკეთებულია 1859 წლის ერთ-ერთ ანონიმურ სტატიაში.

კერძო წარმოებულები გამოჩნდნენ ნიუტონის, ლაიბნიცის, იოჰან და იაკობ ბერნულების შრომებში რაიმე შენიშვნის, წესის და განსაკუთრებული სიმბოლოების გარეშე. ლეჟანდრმა პირველმა დაუპირისპირა df/dx, df/dy აღნიშვნებს ახალი ∂f/∂x, ∂f/∂y აღნიშვნები (1786). ასეთი ცდები ადრეც ხდებოდა, მაგრამ ლეჟანდრის აღნიშვნები უფრო წარმატებული აღმოჩნდა; მაგალითად, ლოპიტალი ∂m/∂x -ის მაგივრად წერდა δ_m-ს, ხოლო ∂m/∂y -ის ნაცვლად ϑ_m-ს (1696); მონჟი იყენებდა აღნიშვნებს δv/dx, δv/dy (1770); კოში კერძო ამოხსნებს აღნიშნავდა ინდექსებით: d_xu/dx, d_yu/dy (1823), ხოლო ეილერი – ფრჩხილებით: (df/dx), (df/dy) (1770). თანამედროვე ∂f/∂x,∂f/∂y აღნიშვნების შემოღებას ხელი შეუწყო იაკობის მიერ მათმა სისტემატურმა გამოყენებამ, რომელმაც აგრეთვე შემოიღო აღნიშვნა ∂^(n+p+q)u/∂xⁿ∂y^p∂z^q.

კერძო წარმოებულების აღნიშვნის ევოლუცია ასეთია:

P, q	— მონჟი (1801), ჰქონდა ეილერსაც (1775);
Zx2, Zxy, Zy2	— ლაგრანჟი (1801);
r,s,t	— მონჟი (1801).
f'x, f'y ან z'x, Z'y	— ლაგრანჟი (1797, 1801);
∂f/∂x, ∂f/∂y ან ∂z/∂x, ∂z/∂y	— ლეჟანდრი (1786), იაკობი (1837, 1841);
Dx f, Dyf	— კოში (1840);
∂2 z/∂x2, ∂2 z/∂y2, ∂2z/∂x∂y	— იაკობი (1837);

წარმოებულებს უმთავრესად იყენებენ ფუნქციათა გამოკვლევის დროს. კავშირი ფუნქციისა და მისი წარმოებულების თვისებებს შორის გამოსახულია დიფერენციალური აღრიცხვის ძირითად თეორემებში (როლის თეორემა, ლაგრანჟის თეორემა, ტეილორის ფორმულა და სხვ.), რომელთა საშუალებითაც ხერხდება ფუნქციის ქცევის დეტალური გამოკვლევა (წირის ამოზნექილობა და ჩაზნექილობა, ზრდადობა და კლებადობა, ექსტრემუმები, ასიმპტოტებისა და გადაღუნვის წერტილების პოვნა, სიმრუდის გამოთვლა და მრავალი სხვ.).

რამდენიმე ცვლადის ფუნქციის წარმოებულის ცნება მხოლოდ საუკუნეების გასაყარზე გაფორმდა. დღევანდელის ტოლფასი განსაზღვრება გამოჩნდა შტოლცისა (1893) და პირპონტის (1905) სტატიებში. მაგრამ მხოლოდ უ. იუნგმა (1910) დაარწმუნა ყველა ახალი განსაზღვრების უპირატესობაში და მას თანამედროვე სახე მისცა.

წყარო

მათემატიკის ენციკლოპედიური ლექსიკონი