წარმოებული
| (ერთი მომხმარებლის 7 შუალედური ვერსიები არ არის ნაჩვენები.) | |||
| ხაზი 1: | ხაზი 1: | ||
| − | '''წარმოებული''' − y = f(x) ფუნქციის წარმოებული X<sub>0</sub> [[წერტილი (გეომეტრია)|წერტილში]] ეწოდება ფუნქციის | + | '''წარმოებული''' − y = f(x) [[ფუნქცია (მათემატიკური)|ფუნქციის]] წარმოებული X<sub>0</sub> [[წერტილი (გეომეტრია)|წერტილში]] ეწოდება ფუნქციის ნაზრდისა და [[არგუმენტი (მათემატიკა)|არგუმენტი]]ს ნაზრდის ფარდობის [[ზღვარი (მათემატიკა)|ზღვარს]] (თუკი ეს არსებობს), როცა არგუმენტის ნაზრდი ნებისმიერად მიისწრაფვის [[ნული]]საკენ, ე. ი. |
| − | + | ||
| + | :::[[ფაილი:Warm001.png]] | ||
| ხაზი 10: | ხაზი 11: | ||
| − | წარმოებულის ცნება წარმოიშვა ფიზიკის, [[ | + | წარმოებულის ცნება წარმოიშვა ფიზიკის, [[მექანიკა|მექანიკისა]] და [[მათემატიკა|მათემატიკის]] მრავალი [[ამოცანა (მათემატიკა)|ამოცანის]] [[ამოხსნა|ამოხსნასთან]] დაკავშირებით, პირველ ყოვლისა, წრფივი [[არათანაბარი მოძრაობა|არათანაბარი მოძრაობისას]] [[სიჩქარე|სიჩქარის]] განსაზღვრისა და ნებისმიერი [[ბრტყელი წირი]]სადმი [[მხები]]ს აგების ამოცანებთან დაკავშირებით. |
| − | მათემატიკის დარგს, რომელიც შეისწავლის ფუნქციის წარმოებულებს, [[დიფერენციალი|დიფერენციალებს]] და მათი გამოყენების ხერხებს [[ფუნქცია ( | + | მათემატიკის დარგს, რომელიც შეისწავლის ფუნქციის წარმოებულებს, [[დიფერენციალი|დიფერენციალებს]] და მათი გამოყენების ხერხებს [[ფუნქცია (მათემატიკური)|ფუნქციების]] გამოსაკვლევად, ეწოდება [[დიფერენციალური აღრიცხვა]] ამ დარგის დამოუკიდებელ მათემატიკურ [[დისციპლინა|დისციპლინად]] ჩამოყალიბება დაკავშირებულია [[ნიუტონი ისააკ|ი. ნიუტონის]] და [[ლაიბნიცი გოტფრიდ ვილჰელმ|გ. ლაიბნიცის]] სახელებთან (XVII ს. მე-2 ნახ.). |
| ხაზი 19: | ხაზი 20: | ||
| − | სახელწოდება „წარმოებული“ (derivare) შემოიღო [[ლაგრანჟი ჟოზეფ ლუი|ლაგრანჟმა]] შრომაში „[[ანალიზური ფუნქცია|ანალიზურ ფუნქციათა]] | + | სახელწოდება „წარმოებული“ (derivare) შემოიღო [[ლაგრანჟი ჟოზეფ ლუი|ლაგრანჟმა]] შრომაში „[[ანალიზური ფუნქცია|ანალიზურ ფუნქციათა]] [[თეორია]]“ (1797). მასთან ერთად შემოვიდა ცნებები „მეორე წარმოებული, მესამე...“. ლაიბნიცი წარმოებულს უწოდებდა [[დიფერენციალი|დიფერენციალურ]] ფარდობას, რაც აიხსნება მისი აღნიშვნით dy/dx, აგრეთვე ddy/dx<sup>2</sup> და ა.შ, (1684). ლაიბნიცისათვის ძირითადი ცნება იყო არა წარმოებული, არამედ დიფერენციალი. |
| − | ნიუტონი წარმოებულს უწოდებდა | + | ნიუტონი წარმოებულს უწოდებდა „[[ფლუქსია|ფლუქსიას]]“ (1665) და იყენებდა აღნიშვნებს [[ფაილი:Image006.gif]] რომლებიც დიდხანს შემორჩა ინგლისში; შემდგომში, სტამბური მოსაზრებების გამო, ლონდონის მათემატიკური საზოგადოების საბჭომ 1915 წელს ნიუტონისეულ აღნიშვნებს ამჯობინა აღნიშვნები: x',r',ϑ". ლაგრანჟმა 1770 წელს შემოიღო აღნიშვნები y' ან f'(x), აგრეთვე f "(x) და ა. შ., თუმცა ისინი უფრო ადრე გამოჩნდნენ ფონსენეს მემუარებში (1759). ფიქრობენ, რომ მემუარების ნაწილი მისთვის დაწერა ლაგრანჟმა ლუი არბოგასტის წიგნში (1800) პირველადაა ნახსენები ტერმინი „წარმოებული“ და შემოღებულია აღნიშვნა D<sub>x</sub>y, Df(x), პირველი ასოს გამოყენებით ფრანგული სიტყვისა derivee (Derivation -დერივაცია – „გადახრა“, „გადაყვანა“). ამ ტერმინით სარგებლობა მაშინვე დაიწყო ლაგრანჟმა, ხოლო შემდეგ საყოველთაოდ გავრცელდა იმის გამო, რომ მას სისტემატურად იყენებდა კოში. აქ პირველად გაწარმოების (ოპერაციის) ნიშანი გამოყოფილია ფუნქციისაგან; [[ფაილი:Image010.gif]] სახით ეს გაკეთებულია 1859 წლის ერთ-ერთ ანონიმურ სტატიაში. |
| − | კერძო წარმოებულები გამოჩნდნენ ნიუტონის, ლაიბნიცის, [[ბერნული იოჰან|იოჰან]] და [[ბერნული იაკობ |იაკობ ბერნულების]] შრომებში რაიმე შენიშვნის, წესის და განსაკუთრებული [[სიმბოლო|სიმბოლოების]] გარეშე. ლეჟანდრმა პირველმა დაუპირისპირა df/dx, df/dy აღნიშვნებს ახალი ∂f/∂x, ∂f/∂y აღნიშვნები (1786). ასეთი ცდები ადრეც ხდებოდა, მაგრამ ლეჟანდრის აღნიშვნები უფრო წარმატებული აღმოჩნდა; მაგალითად, ლოპიტალი ∂m/∂x -ის მაგივრად წერდა δ<sub>m</sub>-ს, ხოლო ∂m/∂y -ის ნაცვლად ϑ<sub>m</sub>-ს (1696); მონჟი იყენებდა აღნიშვნებს δv/dx, δv/dy (1770); კოში კერძო ამოხსნებს აღნიშნავდა ინდექსებით: d<sub>x</sub>u/dx, d<sub>y</sub>u/dy (1823), ხოლო [[ეილერი ლეონარდ|ეილერი]] – [[ფრჩხილები ( | + | [[წარმოებული კერძო|კერძო წარმოებულები]] გამოჩნდნენ ნიუტონის, ლაიბნიცის, [[ბერნული იოჰან|იოჰან]] და [[ბერნული იაკობ |იაკობ ბერნულების]] შრომებში რაიმე შენიშვნის, წესის და განსაკუთრებული [[სიმბოლო|სიმბოლოების]] გარეშე. ლეჟანდრმა პირველმა დაუპირისპირა df/dx, df/dy აღნიშვნებს ახალი ∂f/∂x, ∂f/∂y აღნიშვნები (1786). ასეთი ცდები ადრეც ხდებოდა, მაგრამ ლეჟანდრის აღნიშვნები უფრო წარმატებული აღმოჩნდა; მაგალითად, ლოპიტალი ∂m/∂x -ის მაგივრად წერდა δ<sub>m</sub>-ს, ხოლო ∂m/∂y -ის ნაცვლად ϑ<sub>m</sub>-ს (1696); [[მონჟი გასპარ|მონჟი]] იყენებდა აღნიშვნებს δv/dx, δv/dy (1770); კოში კერძო ამოხსნებს აღნიშნავდა [[ინდექსი (ეკონომიკა)|ინდექსებით]]: d<sub>x</sub>u/dx, d<sub>y</sub>u/dy (1823), ხოლო [[ეილერი ლეონარდ|ეილერი]] – [[ფრჩხილები (მათემატიკური ნიშანი)|ფრჩხილებით]]: (df/dx), (df/dy) (1770). თანამედროვე ∂f/∂x,∂f/∂y აღნიშვნების შემოღებას ხელი შეუწყო იაკობის მიერ მათმა სისტემატურმა გამოყენებამ, რომელმაც აგრეთვე შემოიღო აღნიშვნა |
∂<sup>(n+p+q)</sup>u/∂x<sup>n</sup>∂y<sup>p</sup>∂z<sup>q</sup>. | ∂<sup>(n+p+q)</sup>u/∂x<sup>n</sup>∂y<sup>p</sup>∂z<sup>q</sup>. | ||
| ხაზი 32: | ხაზი 33: | ||
::{| | ::{| | ||
|- | |- | ||
| − | | P, q || — მონჟი (1801), ჰქონდა ეილერსაც (1775); | + | | P, q || — [[მონჟი გასპარ|მონჟი]] (1801), ჰქონდა [[ეილერი ლეონარდ|ეილერსაც]] (1775); |
|- | |- | ||
| − | | Z<sub>x</sub><sup>2</sup>, Z<sub>xy</sub>, Z<sub>y</sub><sup>2</sup> || — ლაგრანჟი (1801); | + | | Z<sub>x</sub><sup>2</sup>, Z<sub>xy</sub>, Z<sub>y</sub><sup>2</sup> || — [[ლაგრანჟი ჟოზეფ ლუი|ლაგრანჟი]] (1801); |
|- | |- | ||
| r,s,t || — მონჟი (1801). | | r,s,t || — მონჟი (1801). | ||
| ხაზი 40: | ხაზი 41: | ||
| f'<sub>x</sub>, f'<sub>y</sub> ან z'<sub>x</sub>, Z'<sub>y</sub>|| — ლაგრანჟი (1797, 1801); | | f'<sub>x</sub>, f'<sub>y</sub> ან z'<sub>x</sub>, Z'<sub>y</sub>|| — ლაგრანჟი (1797, 1801); | ||
|- | |- | ||
| − | | ∂f/∂x, ∂f/∂y ან ∂z/∂x, ∂z/∂y|| — ლეჟანდრი (1786), იაკობი (1837, 1841); | + | | ∂f/∂x, ∂f/∂y ან ∂z/∂x, ∂z/∂y|| — ლეჟანდრი (1786), [[იაკობ ბერნული|იაკობი]] (1837, 1841); |
|- | |- | ||
| D<sub>x</sub> f, D<sub>y</sub>f|| — კოში (1840); | | D<sub>x</sub> f, D<sub>y</sub>f|| — კოში (1840); | ||
| ხაზი 48: | ხაზი 49: | ||
| − | წარმოებულებს უმთავრესად იყენებენ ფუნქციათა გამოკვლევის დროს. კავშირი ფუნქციისა და მისი წარმოებულების თვისებებს შორის გამოსახულია დიფერენციალური აღრიცხვის ძირითად თეორემებში (როლის თეორემა, ლაგრანჟის თეორემა, ტეილორის ფორმულა და სხვ.), რომელთა საშუალებითაც ხერხდება ფუნქციის ქცევის დეტალური გამოკვლევა ( | + | წარმოებულებს უმთავრესად იყენებენ ფუნქციათა გამოკვლევის დროს. კავშირი ფუნქციისა და მისი წარმოებულების თვისებებს შორის გამოსახულია [[დიფერენციალური აღრიცხვა|დიფერენციალური აღრიცხვის]] ძირითად [[თეორემა|თეორემებში]] ([[როლის თეორემა]], [[ლაგრანჟის თეორემა]], [[ტეილორის ფორმულა]] და სხვ.), რომელთა საშუალებითაც ხერხდება ფუნქციის ქცევის დეტალური გამოკვლევა ([[წირი]]ს [[ამოზნექილობა და ჩაზნექილობა]], ზრდადობა და კლებადობა, [[ექსტრემუმი|ექსტრემუმები]], [[ასიმპტოტი|ასიმპტოტებისა]] და [[გადაღუნვის წერტილი|გადაღუნვის წერტილების]] პოვნა, [[სიმრუდე (გეომეტრია)|სიმრუდის]] [[გამოთვლა (მათემატიკა)|გამოთვლა]] და მრავალი სხვ.). |
| − | რამდენიმე ცვლადის ფუნქციის წარმოებულის ცნება მხოლოდ საუკუნეების გასაყარზე გაფორმდა. დღევანდელის ტოლფასი განსაზღვრება გამოჩნდა შტოლცისა (1893) და პირპონტის (1905) სტატიებში. მაგრამ მხოლოდ უ. იუნგმა (1910) დაარწმუნა ყველა ახალი განსაზღვრების უპირატესობაში და მას თანამედროვე სახე მისცა. | + | რამდენიმე [[ცვლადი|ცვლადის]] ფუნქციის წარმოებულის ცნება მხოლოდ საუკუნეების გასაყარზე გაფორმდა. დღევანდელის ტოლფასი განსაზღვრება გამოჩნდა შტოლცისა (1893) და პირპონტის (1905) სტატიებში. მაგრამ მხოლოდ უ. იუნგმა (1910) დაარწმუნა ყველა ახალი [[განსაზღვრება (მათემატიკა)|განსაზღვრების]] უპირატესობაში და მას თანამედროვე სახე მისცა. |
მიმდინარე ცვლილება 16:12, 21 სექტემბერი 2023 მდგომარეობით
წარმოებული − y = f(x) ფუნქციის წარმოებული X0 წერტილში ეწოდება ფუნქციის ნაზრდისა და არგუმენტის ნაზრდის ფარდობის ზღვარს (თუკი ეს არსებობს), როცა არგუმენტის ნაზრდი ნებისმიერად მიისწრაფვის ნულისაკენ, ე. ი.
წარმოებული ასე აღინიშნება: y'; dy / dx; f'(x); df(x) / dx.
წარმოებულის მოძებნის ოპერაციას გაწარმოება ეწოდება.
წარმოებულის ცნება წარმოიშვა ფიზიკის, მექანიკისა და მათემატიკის მრავალი ამოცანის ამოხსნასთან დაკავშირებით, პირველ ყოვლისა, წრფივი არათანაბარი მოძრაობისას სიჩქარის განსაზღვრისა და ნებისმიერი ბრტყელი წირისადმი მხების აგების ამოცანებთან დაკავშირებით.
მათემატიკის დარგს, რომელიც შეისწავლის ფუნქციის წარმოებულებს, დიფერენციალებს და მათი გამოყენების ხერხებს ფუნქციების გამოსაკვლევად, ეწოდება დიფერენციალური აღრიცხვა ამ დარგის დამოუკიდებელ მათემატიკურ დისციპლინად ჩამოყალიბება დაკავშირებულია ი. ნიუტონის და გ. ლაიბნიცის სახელებთან (XVII ს. მე-2 ნახ.).
სიტყვები ableiten, derivare („გაწარმოება“, „გამოყვანა“) პირველად გამოყენებული იყო ნიუტონისა და და ლაიბნიცის მიმოწერაში (1675 – 1677).
სახელწოდება „წარმოებული“ (derivare) შემოიღო ლაგრანჟმა შრომაში „ანალიზურ ფუნქციათა თეორია“ (1797). მასთან ერთად შემოვიდა ცნებები „მეორე წარმოებული, მესამე...“. ლაიბნიცი წარმოებულს უწოდებდა დიფერენციალურ ფარდობას, რაც აიხსნება მისი აღნიშვნით dy/dx, აგრეთვე ddy/dx2 და ა.შ, (1684). ლაიბნიცისათვის ძირითადი ცნება იყო არა წარმოებული, არამედ დიფერენციალი.
ნიუტონი წარმოებულს უწოდებდა „ფლუქსიას“ (1665) და იყენებდა აღნიშვნებს 
რომლებიც დიდხანს შემორჩა ინგლისში; შემდგომში, სტამბური მოსაზრებების გამო, ლონდონის მათემატიკური საზოგადოების საბჭომ 1915 წელს ნიუტონისეულ აღნიშვნებს ამჯობინა აღნიშვნები: x',r',ϑ". ლაგრანჟმა 1770 წელს შემოიღო აღნიშვნები y' ან f'(x), აგრეთვე f "(x) და ა. შ., თუმცა ისინი უფრო ადრე გამოჩნდნენ ფონსენეს მემუარებში (1759). ფიქრობენ, რომ მემუარების ნაწილი მისთვის დაწერა ლაგრანჟმა ლუი არბოგასტის წიგნში (1800) პირველადაა ნახსენები ტერმინი „წარმოებული“ და შემოღებულია აღნიშვნა Dxy, Df(x), პირველი ასოს გამოყენებით ფრანგული სიტყვისა derivee (Derivation -დერივაცია – „გადახრა“, „გადაყვანა“). ამ ტერმინით სარგებლობა მაშინვე დაიწყო ლაგრანჟმა, ხოლო შემდეგ საყოველთაოდ გავრცელდა იმის გამო, რომ მას სისტემატურად იყენებდა კოში. აქ პირველად გაწარმოების (ოპერაციის) ნიშანი გამოყოფილია ფუნქციისაგან; 
სახით ეს გაკეთებულია 1859 წლის ერთ-ერთ ანონიმურ სტატიაში.
კერძო წარმოებულები გამოჩნდნენ ნიუტონის, ლაიბნიცის, იოჰან და იაკობ ბერნულების შრომებში რაიმე შენიშვნის, წესის და განსაკუთრებული სიმბოლოების გარეშე. ლეჟანდრმა პირველმა დაუპირისპირა df/dx, df/dy აღნიშვნებს ახალი ∂f/∂x, ∂f/∂y აღნიშვნები (1786). ასეთი ცდები ადრეც ხდებოდა, მაგრამ ლეჟანდრის აღნიშვნები უფრო წარმატებული აღმოჩნდა; მაგალითად, ლოპიტალი ∂m/∂x -ის მაგივრად წერდა δm-ს, ხოლო ∂m/∂y -ის ნაცვლად ϑm-ს (1696); მონჟი იყენებდა აღნიშვნებს δv/dx, δv/dy (1770); კოში კერძო ამოხსნებს აღნიშნავდა ინდექსებით: dxu/dx, dyu/dy (1823), ხოლო ეილერი – ფრჩხილებით: (df/dx), (df/dy) (1770). თანამედროვე ∂f/∂x,∂f/∂y აღნიშვნების შემოღებას ხელი შეუწყო იაკობის მიერ მათმა სისტემატურმა გამოყენებამ, რომელმაც აგრეთვე შემოიღო აღნიშვნა ∂(n+p+q)u/∂xn∂yp∂zq.
- კერძო წარმოებულების აღნიშვნის ევოლუცია ასეთია:
წარმოებულებს უმთავრესად იყენებენ ფუნქციათა გამოკვლევის დროს. კავშირი ფუნქციისა და მისი წარმოებულების თვისებებს შორის გამოსახულია დიფერენციალური აღრიცხვის ძირითად თეორემებში (როლის თეორემა, ლაგრანჟის თეორემა, ტეილორის ფორმულა და სხვ.), რომელთა საშუალებითაც ხერხდება ფუნქციის ქცევის დეტალური გამოკვლევა (წირის ამოზნექილობა და ჩაზნექილობა, ზრდადობა და კლებადობა, ექსტრემუმები, ასიმპტოტებისა და გადაღუნვის წერტილების პოვნა, სიმრუდის გამოთვლა და მრავალი სხვ.).
რამდენიმე ცვლადის ფუნქციის წარმოებულის ცნება მხოლოდ საუკუნეების გასაყარზე გაფორმდა. დღევანდელის ტოლფასი განსაზღვრება გამოჩნდა შტოლცისა (1893) და პირპონტის (1905) სტატიებში. მაგრამ მხოლოდ უ. იუნგმა (1910) დაარწმუნა ყველა ახალი განსაზღვრების უპირატესობაში და მას თანამედროვე სახე მისცა.
