ასოითი სიმბოლიკა
ასოითი სიმბოლიკა - სიდიდეებზე მოქმედების მრავალი თვისება, წესი და ალგებრული ხერხები იცოდნენ ძველი საბერძნეთის მეცნიერებმა; თუმცა ყოველივეს ისინი გამოხატავდნენ გეომეტრიული ხერხებით „გეომეტრიული ალგებრის“ კვალი დღესაც ჩანს ტერმინებში – რიცხვის „კვადრატი“, რიცხვის „კუბი“ და ა. შ. გეომეტრიული ფორმებიდან ალგებრის განთავისუფლების პროცესი და ასოითი სიმბოლიკის შექმნა ჯერ კიდევ ძველ საბერძნეთში დაიწყო (დიოფანტე და სხვ.) და გაგრძელდა ინდოეთში და შუა საუკუნეების ევროპაში.
ალგებრაში ასოით სიმბოლოებზე ოპერაციების შემოღება ნიშნავდა ცვლადი სიდიდეების მათემატიკის დასაწყისს.
მათემატიკა წარმოუდგენელია სპეციალური აღნიშვნების (სიმბოლოების) გარეშე. მათემატიკური სიმბოლოები საშუალებას იძლევიან განვაზოგადოთ ესა თუ ის მათემატიკური დებულება, წესი, თეორემა და სხვ.
ასოებისა და მათემატიკური ნიშნების გამოყენება დაიწყო მათემატიკის ხანგრძლივი განვითარების შედეგად. იგი არსებითად მხოლოდ XV ს-ში დაიწყო, მანამდე ყველა სიდიდე და მოქმედება, ამოცანის პირობა და პასუხი თითქმის ამიტომ იმ მხოლოდ სიტყვიერად გამოიხატებოდა. დროის ალგებრას რიტორიკულს, ანუ სიტყვიერს უწოდებენ.
XV ს-ის მეორე ნახევარში იტალიაში, გერმანიაში და ევროპის სხვა ქვეყნებში შემოღებულ იქნა ზოგიერთი ალგებრული სიმბოლიკა და დაიწყო ასოთა გამოყენება. მათემატიკოსები ცდილობდნენ შეემცირებინათ სიმბოლოების რიცხვი და შემოეღოთ ერთგვაროვანი აღნიშვნები. სიტყვების შემოკლებისა და სხვადასხვა ნიშნების გამოგონების შედეგად დიდი ძვრები მოხდა სიმბოლოების შემოღებაში. ამაში დიდი როლი შეასრულა გერმანელი მათემატიკოსის მიხეილ შტიფელის წიგნმა „სრული არითმეტიკა“ (1544). შტიფელი იყო თვითნასწავლი მათემატიკოსი; მიუხედავად ამისა, იგი იცნობდა თავისი დროის ყველა მათემატიკურ მიღწევას მან პირველმა შემოიღო ფესვის ნიშანი მთელი მაჩვენებლით, შემოიღო მრგვალი ფრჩხილები და სიმბოლოები მრავალი უცნობისათვის.
წიგნის ბეჭდვის გამოგონებამ დიდი გავლენა მოახდინა მათემატიკის განვითარებაზე. პირველი ნაბეჭდი მათემატიკური თხზულება იყო ლუკა პაჩოლის „არითმეტიკის, გეომეტრიის, შეფარდების და პროპორციების ცოდნის ნაკრები (ჯამი)“, სადაც შემოტანილმა აღნიშვნებმა ფართო გავრცელება ჰპოვეს, მაგრამ მაინც მოუხერხებელნი იყვნენ. ამიტომ მათემატიკოსები განაგრძობდნენ უფრო მოხერხებული და მარტივი აღნიშვნების ძიებას. განსაკუთრებით აღსანიშნავია ფრანგი მედიცინის ბაკალავრის ნიკოლა შუკეს იტალიელი რაფიელ ბომბელის, ნიდერლანდელი მათემატიკოსის სიმონ სტევინის და სხვათა ღვაწლი. ყოველივე დააგვირგვინა ფრანსუა ვიეტის ტრაქტატმა „ანალიზური ხელოვნების შესავალი“. ეს იყო გადამწყვეტი ნაბიჯი გადადგმული რიტორიკული ალგებრიდან ახალ, სიმბოლური ალგებრაზე.
ალგებრული სიმბოლოების შემქმნელად ითვლება გამოჩენილი ფრანგი მათემატიკოსი, პროფესიით იურისტი, ფრანსუა ვიეტი, იგი ჯერ ახალგაზრდობაში გაეცნო სამყაროს კოპერნიკისეულ სისტემას და დაინტერესდა ასტრონომიით. მან განიზრახა დიდი ასტრონომიული ტრაქტატის დაწერა, რომელსაც მთელი თავისი ცხოვრება მოანდომა. ასტრონომიის შესასწავლად ვიეტის მიერ ჩატარებულმა ალგებრულმა გამოკვლევებმა მნიშვნელოვანი შედეგები მოგვცა, რამაც საფუძველი დაუდო ალგებრის შემდგომ განვითარებას. მან თავისი იდეები ჩამოაყალიბა დიდ ნაშრომში „ანალიზური ხელოვნების შესავალი“ (ასეც მოიხსენიებენ: „ანალიზის ხელოვნება, ანუ ახალი ალგებრა“, ტურინი, 1591 წ.), რომელიც იქცა ალგებრაში ყოვლისმომცველი ტრაქტატის საწყისად. მართალია, ვიეტის სიმბოლიკას ჰქონდა ზოგიერთი ნაკლი, მაგრამ, მიუხედავად ამისა, ეს იყო უდიდესი წინგადადგმული ნაბიჯი.
ვიეტი ცდილობდა შეექმნა ახალი მეცნიერება, რომელსაც ანალიზურ ხელოვნებას უწოდებდა. მისი აზრით ეს მეცნიერება უნდა ფლობდეს გეომეტრიის სიმკაცრეს და ალგებრის ოპერატიულობას; ასეთი მეცნიერების წინაშე უძლურია ნებისმიერი ამოცანა. მართალია, ვიეტიმ წიგნი ვერ დაამთავრა, მაგრამ ძირითადი ნაწილი დაწერილი იყო. ამ ძირითადმა ნაწილმა განსაზღვრა ახალი დროის მთელი მათემატიკის განვითარება.
თავისი ახალი სიმბოლური ალგებრა (logistica speciosa) ვიეტიმ დაუპირისპირა ადრინდელ – რიცხვით ალგებრას (logistica numerosa) ვიეტი თვლიდა, რომ პირველია ალგებრა, რომელიც საშუალებას იძლევა ვიმოქმედოთ საგანთა მთელ რიგ კლასებზე; მეორეა არითმეტიკა, რომელიც მოქმედებს უბრალოდ რიცხვებზე.
ძველი ბერძნების გეომეტრიული ალგებრის შესაბამისად, ვიეტიმ ყველა შესაძლო სიდიდე დაყო საფეხურებად. პირველ საფეხურს მან მიაკუთვნა „სიგრძეები“, ანუ ერთი განზომილების სიდიდეები, რომლებიც შეიძლება შეკრიბო ან გამოაკლო – დიდი სიდიდიდან პატარა სიდიდე. ამ ორი ოპერაციის შედეგად მიიღება იმავე საფეხურის სიდიდე. თუ გადავამრავლებთ პირველი საფეხურის ორ სიდიდეს, შედეგად მივიღებთ „ფართობს“ – მეორე საფეხურის სიდიდეს, ანუ ორი განზომილების სიდიდეს. შემდეგი საფეხური იყო „მოცულობა“ – მესამე განზომილების სიდიდეებით. ასეთი საფეხურები ვიეტიმ მიიღო უამრავი, უფრო მაღალი განზომილების სიდიდეებით.
შემდეგ ვიეტიმ ყველა სიდიდე აღნიშნა ანბანის ასოებით. რადგანაც სიდიდეები არიან ცნობილნი და უცნობები, ამიტომ ცნობილების აღსანიშნავად მან შეარჩია თანხმოვნები B, C, D, ..., უცნობები აღნიშნა ხმოვანი ასოებით: A, E, J, ..., საძიებელი სიდიდე – N (Numerus) ასოთი, მისი კვადრატი – Q (Quadratus) ასოთი, კუბი – C (Cubus) ასოთი. იგი ასე წერდა:
- NC – 3N aequatur 1, ე.ი. x3 – 3x = 1.
ამ აღნიშვნების შედეგად ვიეტის შეეძლო განტოლებები პარამეტრებით ჩაეწერა (და არა კონკრეტული რიცხვითი მნიშვნელობებით), ე. ი. ამოცანათა მთელი კლასი, რომლებიც შეიძლება ამოიხსნას ერთი წესის დახმარებით. აქ განსაკუთრებით მნიშვნელოვანია ის, რომ განტოლებებთან ერთად შეიძლება ფორმულაც ჩაიწეროს. მათემატიკური ფორმულები – ეს არ არის მხოლოდ თეორემების მოკლე ჩაწერა. ფორმულებზე შეიძლება იმოქმედო და მიიღო ახალი ფორმულები და დამოკიდებულებები. ასე რომ, ასოითი აღრიცხვა საშუალებას იძლევა მსჯელობა შევცვალოთ მექანიკური მოქმედებებით (გამოთვლებით). როგორც ლაიბნიცი შენიშნავს, იგი „განტვირთავს წარმოსახვას“.
ახლა ძნელია მათემატიკის წარმოდგენა ფორმულების გარეშე, მაგრამ იგი ასეთი იყო ვიეტამდე. შემდგომ, XVII საუკუნეში, უკანასკნელი „შტრიხი“ დაუმატა რენე დეკარტმა თავის „გეომეტრიაში“, სადაც მან უარი თქვა ერთგვაროვნობის პრინციპზე.
ინგლისელი ჰარიოტი დიდ ასოებს ცვლის პატარა ასოებით. დეკარტმა წამოაყენა წინადადება ცნობილი რიცხვები აღინიშნოს ლათინური ანბანის პირველი ასოებით a, b, c, ..., ხოლო უცნობები – ანბანის ბოლო ასოებით – x, y, z. დღეისათვის ჩვენ თითქმის ამ აღნიშვნებს ვიყენებთ.
უნდა აღინიშნოს ერთი მნიშვნელოვანი გარემოება. ხშირ შემთხვევაში ახალი მათემატიკური სიმბოლოების გავრცელება-გამოყენებას ხელს უწყობდა ან უშლიდა სასტამბო (ტიპოგრაფიული) მოწყობილობების, შესაბამისი ასო-ნიშნების არსებობის დონე. ახალი სიმბოლოების შემოღება ბევრჯერ ვერ განხორციელებულა, რადგანაც ამისათვის პირველ ყოვლისა სტამბები უნდა აღჭურვილიყვნენ სათანადო ნიშნებით, რაც ხშირად ტექნიკურად რთულად განსახორციელებელი იყო. ზოგიერთი ნიშანი პრივილეგირებული ხდებოდა გარკვეული პირობების შედეგად. მაგალითად, მათემატიკის ისტორიის ზოგიერთი მკვლევარის აზრით, x ნიშნის უპირატესობა y და z ნიშნებთან შედარებით იმის შედეგია, რომ ლათინურ და ფრანგულ ენებში ასო x უფრო ხშირად იხმარება, ვიდრე y და z ასოები; ამიტომ სტამბებს x ასოს მარაგი უფრო მეტი ჰქონდათ, ვიდრე y და z ასოებისა. ამის გამო, მათემატიკურ შრომებში უცნობების აღმნიშვნელად უმეტესად x -ის გამოყენება დაიწყეს.
ალგებრული სიმბოლიკის შექმნა, რომელსაც ადგილი ჰქონდა იტალიაში, გერმანიაში, საფრანგეთში, ნიდერლანდებში და ინგლისში, ძირითადად XVII ს-ში დამთავრდა.
ალგებრული სიმბოლიკის განვითარებასა და სრულყოფას დიდად შეუწყო ხელი რენე დეკარტის, ისაკ ნიუტონის, ლეონარდო ეილერისა და სხვა მეცნიერთა შრომებმა.
მათემატიკურ სიმბოლოებს შეთანადებული აქვთ ნებისმიერი ბუნების სხვა ობიექტი, როგორც მისი მნიშვნელობა. აუცილებელი არ არის, რომ სიმბოლო ჰგავდეს თავის მნიშვნელობას. სიმბოლოს მნიშვნელობა შეიძლება იყოს როგორც ფიზიკური საგანი ან მოვლენა, ისე აზროვნებისეული ობიექტი – საგანთა თვისება, მათ შორის არსებული მიმართება, საგნობრივი ვითარება სიმბოლიკა ქმნის ცოდნის დაგროვების, შენახვისა და გადაცემის საშუალებას.
