ლაპლასის განტოლება
ლაპლასის განტოლება – მეორე რიგის კერძოწარმოებულებიანი ერთგვაროვანი დიფერენციალური განტოლება:
სადაც x,y,z – დამოუკიდებელი ცვლადებია, ხოლო u(x,y,z) – საძებნი ფუნქცია. თუ გამოვიყენებთ ლაპლასის ოპერატორს, მაშინ ლაპლასის განტოლება მოკლედ ასე ჩაიწერება:
- ∆u = 0; აქ
- ∆u = 0; აქ
თუ საძებნი u ფუნქცია დამოკიდებულია n ცვლადზე x1,x2,...,xn, მაშინ ლაპლასის განტოლება ასე ჩაიწერება:
ანუ ∆u=0.
ბრტყელი შემთხვევისათვის:
ლაპლასის განტოლება ასე ჩაიწერება:
განტოლებას სახელი ეწოდა ფრანგი მათემატიკოსის პიერ ლაპლასის პატივსაცემად, რომელმაც პირველად განიხილა იგი გრავიტაციის პოტენციალის და ცის მექანიკის თეორიისადმი მიძღვნილ შრომაში (1782).
ლაპლასის განტოლება წარმოადგენს ელიფსური ტიპის მეორე რიგის კერძოწარმოებულებიანი დიფერენციალური განტოლებების ძირითად სახეს, რომელზეც იქმნებოდა და იქმნება ელიფსური განტოლებებისათვის სასაზღვრო ამოცანების ამოხსნის ძირითადი მეთოდები. ფუნქციებს, რომლებიც აკმაყოფილებენ ლაპლასის განტოლებას, ჰარმონიულ ფუნქციებს უწოდებენ. ლაპლასის განტოლებამდე დაიყვანება ფიზიკისა და ტექნიკის მრავალი ამოცანა. ლაპლასის განტოლება გვხვდება ეილერისა და დალამბერის შრომებშიც, როდესაც ისინი იხილავენ ჰიდრომექანიკის ამოცანებს და კომპლექსური ცვლადის ფუნქციებს.
ეს განტოლება პირველად ეილერმა განიხილა. ლაპლასმა განტოლება ჯერ პოლარულ კოორდინატებში მიიღო (1782), ხოლო მოგვიანებით – დეკარტის კოორდინატებში (1785). განტოლების გარდაქმნა ნებისმიერ მრუდწირულ კოორდინატებში მოგვცა ლამემ (1834). მიღებული აღნიშვნა ∆2u = 0, რომელიც შემოიღო ინგლისელმა მათემატიკოსმა მერფიმ XIX ს-ის პირველ ნახევარში, თანდათანობით გამოირჩეოდა მანამდე არსებული უამრავი აღნიშვნიდან. მაგალითად, ფურიე განტოლებას ასე წერდა Du = 0, პუასონი – δu = 0 სახით, ლამე – ∆2u = 0 სახით, ბეტი – ∆2u = 0 სახით, გიბსი და თეტი – ∇2u = 0 სახით და ა.შ.
