ჰარმონიული ფუნქცია (მათემატიკა)
ჰარმონიული ფუნქცია – x1,x2,...,xn (n≥2) ცვლადების ნამდვილი ფუნქცია, რომელიც განსაზღვრულია ნამდვილ ცვლადთა რომელიმე D არეში, აქვს მეორე რიგამდე უწყვეტი კერძო წარმოებულები და D არეში აკმაყოფილებს ლაპლასის დიფერენციალურ განტოლებას:
- ∆u=∂2u/∂x12 + ∂2u/∂x22 + ⋯ + ∂2u/∂xn2= 0;
ანუ
- ∆u =
∂2u/∂xi2= 0.
- ∆u =
ფიზიკის და მექანიკის მრავალ საკითხში, სადაც ლაპარაკია სივრცის ნაწილზე, რომლის მდგომარეობა დამოკიდებულია წერტილის მდებარეობაზე და არა დროზე, შესაბამისი მდგომარეობა წარმოადგენს წერტილის კოორდინატების ჰარმონიულ ფუნქციას.
ჰარმონიული ფუნქციის თეორიის უმნიშვნელოვანესი ამოცანებია დირიხლეს და ნეიმანის სასაზღვრო ამოცანები. დირიხლეს ამოცანაში ჰარმონიულ ფუნქციას ეძებენ არის შიგნით (ან გარეთ), თუ ცნობილია ფუნქციის მნიშვნელობები ამ არის საზღვრის წერტილებში. ნეიმანის ამოცანაში ჰარმონიულ ფუნქციას ეძებენ არის შიგნით, თუ ცნობილია საზღვრის წერტილებში ნორმალური წარმოებულების მნიშვნელობები.
უილიამ ტომსონმა და პეტერ თეტმა წამოაყენეს წინადადება, რომ ფუნქციას, რომელიც აკმაყოფილებს ∆u=0 განტოლებას რაიმე D არეში, უწოდონ „ამ არის სრული ჰარმონიული ფუნქცია“ (1873). ინგლისურ ლიტერატურაში დაინერგა შემოკლებული სახელწოდება – „ჰარმონიული ფუნქცია“ პუანკარემ წამოაყენა წინადადება ეს სახელწოდება მიეკუთვნოს ∆u + k2u = 0 განტოლების ამონახსნს, ხოლო ∆u=0 განტოლების ამონახსნს იგი უწოდებდა „ბიჰარმონიულ ფუნქციას“ (1894).
