ლაპლასის ოპერატორი
ლაპლასის ოპერატორი (ლაპლასიანი, ანუ დელტა-ოპერატორი) – მეორე რიგის წრფივი დიფერენციალური ოპერატორი, რომელიც აღინიშნება ∆ (დელტა) ან ∇2 სიმბოლოთი:
- აქ
– ჰამილტონის ოპერატორია.
- აქ
თუ φ არის n ცვლადის ორჯერ წარმოებადი ფუნქცია φ=φ(x1,x2,…,xn), მაშინ
- განვიხილოთ
თუ ვექტორული ველი პოტენციურია, მაშინ div (grad u) = 0 და მაშასადამე, პოტენციური ფუნქცია u – ჰარმონიულია, ვინაიდან ის აკმაყოფილებს ლაპლასის განტოლებას:
(ანუ ∆ u =0).
:ლაპლასის ოპერატორი ცილინდრულ კოორდინატებში:
ლაპლასის ოპერატორი მნიშვნელოვან როლს თამაშობს მათემატიკურ ანალიზში, მათემატიკურ ფიზიკაში, გეომეტრიაში.
ლაპლასის ოპერატორის მნიშვნელობა მათემატიკის მრავალ საკითხში განპირობებულია მისი ძირითადი თვისებით: ეს ოპერატორი წარმოადგენს ერთადერთს მეორე რიგის ყველა დიფერენციალურ ოპერატორს შორის, რომელიც ინვარიანტულია x1,x2,…,xn ცვლადების ნებისმიერი ორთოგონალური გარდაქმნის მიმართ.
