ბესელის ფუნქციები

ბესელის ფუნქციები – ცილინდრული ფუნქციები. ფუნქციათა მნიშვნელოვანი კლასი, რომლებიც წარმოადგენენ ბესელის დიფერენციალური x² y" + xy' + (x² - p²)y = 0; p=const განტოლების ამონახსნებს. ეს დიფერენციალური განტოლებები გვხვდება მათემატიკური ფიზიკის ამოცანების ფურიეს მეთოდით ამოხსნისას. ამ განტოლების ამონახსნს აქვს ასეთი სახე:

J_p (x) = (-1)^k(x/2)^p+2k / [k! Г(k+p+1)],

სადაც P - პარამეტრია, Г - გამა-ფუნქცია. ამ ამონახსნს პირველი გვარის p რიგის ბესელის ფუნქციას უწოდებენ. ბესელის ფუნქციები დაწვრილებით შესწავლილია როგორც ნამდვილი, ასევე კომპლექსური რიცხვებისათვის და არსებობს დიდი რაოდენობის ბესელის ფუნქციების ცხრილები.

სახელწოდება „ბესელის ფუნქციები“ ისტორიულად არამართებულია. ასეთი ფუნქციები (ნულოვანი რიგისა) გვხვდება დ. ბერნულის სტატიებში (1732, 1734, 1738). ბერნულიმ დაადგინა მათი მრავალი თვისება – რეკურენტული თანაფარდობა, ინტეგრალური წარმოდგენა, ნებისმიერი ფუნქციის ბესელის ფუნქციების მწკრივად გაშლის ფორმულები და სხვ. ბესელის ფუნქციები ნებისმიერი მთელი ინდექსით პირველად შემოიღო ეილერმა (1764). ასეთი ფუნქციები აქვს ლაგრანჟსაც (1770). ბესელმა ტრანსცენდენტური ფუნქციების ეს კლასი შემოიღო 1824 წელს გამოცემულ სტატიაში.

სახელწოდება „ბესელის ფუნქციები“ შემოიღო შლემილხმა (1857), რომელმაც პირველმა სცადა ბესელის ფუნქციების მეტად თუ ნაკლებად დამოუკიდებელი თეორიის აგება. ტერმინები „პირველი გვარის ფუნქცია“ და „მეორე გვარის ფუნქცია“ შემოღებულ იქნა სფერული ფუნქციების ანალოგიურად, რომელთათვისაც ასეთი ტერმინები უკვე არსებობდნენ; პირველი შემოიღო კ. ნეიმანმა (1867), ხოლო მეორე – ლომელმა (1868).

ჰ. ჰაინემ შემოიღო სახელწოდება „ცილინდრული ფუნქციები“. ტერმინის წარმოშობა დაკავშირებულია იმ გარემოებასთან, რომ დიფერენციალური განტოლება, საიდანაც ისინი მიიღებიან, გვხვდება ცილინდრული არეებისათვის პოტენციალის სასაზღვრო ამოცანების განხილვისას. პირველი გვარის ცილინდრული ფუნქციების აღნიშვნის ევოლუცია ასეთია: J_xⁿ – ბესელი (1824), J_x/2ⁿ – ჰანსენი (1843), J_(x)ⁿ – ლომელი (1868), ჰანკელი (1869), J_n^(x) – ვებერი (1873).

ბესელის ფუნქციების პირველი ცხრილი შეადგინა ბესელმა (1824 - 1826) ისინი შეიცავდნენ J_o(x) და J₁(x) მნიშვნელობებს ათი ათობითი ნიშნით (0; 3,2) ინტერვალისათვის. მცირე ცხრილები [J_o(x), J_o²(x), 2J₁(x)/x, J₁²(x)/x -თვის] გამოაქვეყნეს გ. ეირიმ (1835, 1841), ე. ლომელმა (1870, 1886). 1843 წ. ჰანსენმა გამოაქვეყნა ცხრილები J₀(x) და J₁(x) -თვის ექვსი ათობითი ნიშნით (0;10) ინტერვალისათვის. ეს ცხრილები გადაბეჭდეს შლემილხმა (1857) და ლომელმა, რომელმაც იგი გააფართოვა x=20 -მდე. ეს ცხრილები უფრო დაზუსტდა ე. მეისელის დიდი ცხრილებით J₀(x) და J₁(x) -თვის 12 ნიშნით (0;15,5) ინტერვალისათვის.

წყარო

მათემატიკის ენციკლოპედიური ლექსიკონი