კომპლექსური რიცხვები
კომპლექსური რიცხვები – z = a + ib სახის რიცხვები, სადაც a და b ნამდვილი რიცხვებია, ხოლო i= √–1 – ე. წ. წარმოსახვითი ერთეული, ე. ი. რიცხვი, რომლის კვადრატი –1-ის ტოლია. a-ს ეწოდება კომპლექსური z რიცხვის ნამდვილი ნაწილი, ხოლო b-ს – მისი წარმოსახვითი ნაწილი (ისინი ასე აღინიშნება: a=Rez,b=Jmz). არითმეტიკული მოქმედებები კომპლექსურ რიცხვებზე ისევე წარმოებს, როგორც მრავალწევრებზე, i2 = –1 პირობის გათვალისწინებით:
i3 = –i, i4 = + 1,..., i4n = 1, i4n+1 = i, i4n+2 = –1, i4n+3 = –i.
ნამდვილი რიცხვები წარმოადგენენ კომპლექსური რიცხვების კერძო შემთხვევას (როცა i-ს კოეფიციენტი ნულის ტოლია). კომპლექსური რიცხვები დიდ როლს ასრულებენ მრავალი მათემატიკური ამოცანის გადაწყვეტისას. ისტორიულად კომპლექსური რიცხვი შემოღებულ იქნა კვადრატული განტოლების ამოხსნასთან დაკავშირებით. კომპლექსური რიცხვების შეკრება (გამოკლება), გამრავლება, გაყოფა მოცემულია ფორმულებით:
- (a+ ib) ± (x + iy) = (a ± x) + i (b ± y);
- (a+ ib) · (x + iy) = (ax - by) + i (ay + bx);
- (a+ ib) / (x + iy) = (ax + by) / (x2+y2) + i (bx-ay) / (x2+y2).
გეომეტრიულად ყოველი კომპლექსური რიცხვი z = a+ib გამოისახება სიბრტყის წერტილით, რომლის კოორდინატებია a და b. თუ ამ წერტილის პოლარული კოორდინატებია r და φ, მაშინ ნებისმიერი კომპლექსური რიცხვი შეიძლება ასე წარმოვადგინოთ z = a+ib = r (cosφ + i sinφ) = r eiφ.
ეს არის კომპლექსური რიცხვის გეომეტრიული ან პოლარული ფორმა.
r – ს ეწოდება კომპლექსური რიცხვის მოდული (r = |z|), ხოლო φ-ს მისი არგუმენტი (φ= argz). ამასთანავე: 
φ = arctg(b/a) +2πk, როცა a>0 და φ= π+arctg(b/a) +2πk, როცა a<0; kϵZ
როცა a =0,φ=π/2 თუ b >0 და φ = -π /2 თუ b<0.
თუ მოცემულია ორი კომპლექსური რიცხვი
z1 = r1 (cosφ1 + i sinφ1) და z2 = r2 (cosφ2 + i sinφ2),
მაშინ
- z1∙z2 = r1 r2 [cos(φ1 + φ2) + i sin (φ1 + φ2)],
- z1/z2 = r1 / r2∙[cos(φ1 - φ2) + i sin (φ1 - φ2)], (z2≠0),
- zn = rn (cosφ + i sinφ)n=rn (cosnφ + i sinnφ), (n- მთელი რიცხვია).
n–ნატურალური რიცხვია).
კომპლექსური z რიცხვის შესაბამისი ვექტორის სიგრძე მისი |z| მოდულის ტოლია.
კომპლექსური რიცხვების ჯამის მოდული არ არის მეტი მათი მოდულების ჯამზე: |z1 + z2 | ≤ | z1 | + | z2 |.
ითვლება, რომ კომპლექსური რიცხვების გამოყენება პირველად დაიწყეს იტალიელმა მათემატიკოსებმა კარდანომ (1545) და ბომბელიმ (1572), თუმცა არაცხადი სახით ეს რიცხვები შეიძლება უფრო ადრეულ ნაშრომებშიც მოინახოს.
წარმოსახვითი სიდიდეები პირველად გამოჩნდა ჯ. კარდანოს ცნობილ ნაშრომში „დიდი ხელოვნება, ანუ ალგებრული წესების შესახებ“ (1545). კარდანო ასეთ სიდიდეებს უწოდებდა წმინდად უარყოფითებს, თვლიდა, რომ ისინი იყვნენ უსარგებლონი, ხმარებაში გამოუსადეგარნი და ცდილობდა არ გამოეყენებინა ისინი. მართლაც, ასეთი რიცხვების დახმარებით არ შეიძლება გამოისახოს არც რაიმე სიდიდის გაზომვის შედეგი, არც ამ სიდიდის ცვლილება.
წარმოსახვითი სიდიდეების სარგებლიანობა, მაგალითად, კუბური განტოლების ამოხსნისას, პირველად შეაფასა რ. ბომბელიმ, რომელმაც თავის „ალგებრაში“ (დაიწერა დაახლ. 1560 წ., გამოიცა 1572 წელს) მოგვცა კომპლექსურ რიცხვებზე არითმეტიკული მოქმედებების პირველი წესები. XVI-XVII ს-ებში კვადრატული და კუბური განტოლებების ამოხსნის დროს მიღებულ a+b √–1 გამოსახულებას უკვე უწოდებდნენ „წარმოსახვითს“, თუმცა კარდანოს და ბომბელის ნაშრომებიდან დიდი ხნის შემდეგაც ცნობილ მათემატიკოსებსაც არ ჰქონდათ ცხადი წარმოდგენა კომპლექსურ რიცხვებზე. მრავალი მეცნიერისათვის წარმოსახვითი სიდიდეების არსი გაურკვეველი და ამოუცნობი იყო. მაგალითად, ცნობილია, რომ ნიუტონი წარმოსახვით სიდიდეებს არ მიაკუთვნებდა რიცხვის ცნებას; ლაიბნიცს ეკუთვნის ფრაზა: „წარმოსახვითი რიცხვები – ეს არის ღვთიური სულის ლამაზი და საუცხოო თავშესაფარი, თითქმის შერწყმა ყოფიერებისა არაყოფიერებასთან“.
სიტყვა „წარმოსახვითი“ პირველად შემოიღო კავალიერიმ – მხოლოდ გეომეტრიაში: წარმოსახვით ხარისხს იგი უწოდებდა ყოველგვარ ხარისხს მესამის ზევით, ვინაიდან ასეთი ხარისხი მოკლებულია გეომეტრიულ აზრს (1635). დეკარტთან პირველადაა დაპირისპირებული განტოლების ნამდვილი და წარმოსახვითი ფესვები (1637). მანვე შემოიღო სახელწოდება „წარმოსახვითი რიცხვები“. 1777 წელს ეილერმა შემოიტანა წინადადება ისარგებლონ ფრანგული სიტყვის imaginaire (წარმოსახვითი) პირველი ასოთი i= √–1 სიმბოლოს („წარმოსახვითი“ ერთეული) აღსანიშნავად. ამ სიმბოლოს საყოველთაო გამოყენება დაიწყეს გაუსის წყალობით (1831).
ტერმინი „კომპლექსური რიცხვი“ პირველად შემოიღო კარნომ (1803), შემდეგ იგი გაიმეორა გაუსმა (1831). ტერმინის სიტყვასიტყვითი მნიშვნელობაა – „რთული, შედგენილი რიცხვი“.
კომპლექსური რიცხვის გეომეტრიული წარმოდგენა არასაკმარისად მკაფიო ფორმით გვხვდება ეილერთან, ისევე, როგორც ვალისთან (1685). სამაგიეროდ კომპლექსური რიცხვის გეომეტრიული გამოსახვა (მიმართული მონაკვეთის სახით) და მათზე მოქმედებები სისტემური ფორმით გვხვდება დანიელი მიწათმზომლის ვესელის (1799) და ფრანგი მათემატიკოსის არგანის (1806) შრომებში. ვესელს და არგანს არავითარი კონტაქტი არ ჰქონდათ თავისი დროის სამეცნიერო წრეებთან, ამიტომ მათი ნაშრომი დიდხანს რჩებოდა შეუმჩნეველი. კომპლექსური რიცხვების გეომეტრიულმა წარმოდგენამ საყოველთაო აღიარება მოიპოვა 1831 წლიდან, როდესაც გამოქვეყნდა გაუსის „ბიკვადრატული ნაშთების თეორია“ (1828), რომელიც შეიცავდა კომპლექსური რიცხვების გეომეტრიულ ინტერპრეტაციას.
სახელწოდება „დაყვანილი ფორმა“ a+ib გამოსახულებისათვის შემოიღო კოშიმ (1821). ტერმინი „მოდული“ 
სიდიდისათვის ეკუთვნის არგანს (1814), შემდგომში მას იყენებდა კოში (1821). ვაიერშტრასმა შემოიღო (1841) სახელწოდება „აბსოლუტური სიდიდე“ და იგი აღნიშნა |z| სიდიდით. აგრეთვე იყენებდნენ აღნიშვნებს mod.z, abs.z და სხვ. კომპლექსური რიცხვის φ კუთხისათვის ტერმინი „არგუმენტი“ პირველად გამოიყენა კოშიმ (1847). a+ib და a-ib რიცხვებისათვის სახელწოდება „შეუღლებული რიცხვები“ შემოიღო კოშიმ. ტრიგონომეტრიული ფორმით კომპლექსური რიცხვები წარმოადგინეს ეილერმა და დალამბერმა.
კომპლექსური რიცხვის, როგორც ნამდვილ რიცხვთა წყვილის წმინდა არითმეტიკული თეორია ააგო უ. ჰამილტონმა (1837). მასვე ეკუთვნის კომპლექსური რიცხვის მნიშვნელოვანი სივრცითი განზოგადება - კვატერნიონი, რომელთა ალგებრა არაკომუტატურია (1843).
XVII საუკუნის ბოლოს და XVIII საუკუნის დასაწყისში აგებულ იქნა ზოგადი თეორია n-ური ხარისხის ფესვის შესახებ ჯერ უარყოფითი, ხოლო შემდეგ ნებისმიერი კომპლექსური რიცხვიდან, რომელიც დაფუძნებული იყო ინგლისელი მათემატიკოსის ა. მუავრის ფორმულაზე (1707):
- (cosφ + i sinφ)n = cosnφ +i sinnφ.
ამ ფორმულის დახმარებით ეილერმა გამოიყვანა შესანიშნავი ფორმულა (1748), რომელიც ერთმანეთთან აკავშირებს მაჩვენებლიან და ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებს: eix=cosx + isinx.
ეილერის ფორმულის დახმარებით შეიძლება რიცხვი ავიყვანოთ ნებისმიერ კომპლექსური ხარისხში. მაგალითად, აღსანიშნავია, რომ eiπ = -1. შეიძლება მოვნახოთ კომპლექსური რიცხვის სინუსი და კოსინუსი, გამოვთვალოთ ასეთი რიცხვების ლოგარითმები, ე. ი. ავაგოთ კომპლექსური ცვლადების ფუნქციათა თეორია. XVIII საუკუნის ბოლოს ლაგრანჟმა ხმამაღლა განაცხადა, რომ მათემატიკურ ანალიზს უკვე ვეღარ დააბრკოლებს წარმოსახვითი სიდიდეები. კომპლექსური რიცხვების დახმარებით დაიწყეს მუდმივკოეფიციენტებიანი წრფივი დიფერენციალური განტოლებების ამოხსნა, რომლებიც რხევითი მოძრაობების შესწავლისას ხვდებოდათ. იაკობ ბერნულიმ კომპლექსური რიცხვები გამოიყენა ინტეგრალების გამოსათვლელად.
კომპლექსური რიცხვის გეომეტრიულმა წარმოდგენამ გააფართოვა კომპლექსური ცვლადის ფუნქციათა თეორიის პრაქტიკული გამოყენების არეალი, განსაკუთრებით იმ საკითხებში, სადაც საქმე აქვთ ვექტორებთან სიბრტყეზე: დრეკადობის თეორიაში, ჰიდროდინამიკაში, კარტოგრაფიაში და სხვ.
კომპლექსური ცვლადის ფუნქციათა თეორიის განვითარებაში დიდი ღვაწლი მიუძღვის აკადემიკოს ნიკო მუსხელიშვილს, რომელიც შეისწავლიდა მის გამოყენებას დრეკადობის თეორიაში.
