ანალიზური ფუნქცია

ანალიზური ფუნქცია – კომპლექსური ცვლადის ფუნქციათა თეორიის ძირითადი ცნება: ცალსახა f(z) ფუნქციას ეწოდება ანალიზური (რეგულარული, ჰოლომორფული) z = z_o წერტილში, თუ იგი წარმოებადია z_o წერტილის რაიმე მიდამოში.

f(z) ფუნქცია ანალიზურია z_o წერტილში მაშინ და მხოლოდ მაშინ, თუ იგი წარმოიდგინება f(z) = a_k (z-z_o)^k (k≥0) ხარისხოვანი მწკრივის სახით, რომელიც კრებადია z = z_o წერტილის რაიმე მიდამოში (z= x+ iy).

ფუნქცია f(z) ანალიზურია კომპლექსური სიბრტყის რაიმე S არეში, თუ იგი ანალიზურია S არეს ყოველ წერტილში.

ტერმინი „ანალიზური ფუნქცია“ პირველად გამოიყენა კონდორსემ (XVIII ს.). როგორც ჩანს, სიტყვა „ანალიზური“ აღნიშნავს, რომ ფუნქციის შესწავლის მეთოდი არის მათემატიკური ანალიზი. კონდორსეს მემუარები საკმაოდ ფართოდ იყო ცნობილი, მიუხედავად იმისა, რომ ისინი არ გამოქვეყნებულა. ამავე ტერმინს იყენებდა ლაგრანჟიც ნაშრომში „Theorie des fonctions analytiques“, სადაც იგი გულისხმობდა ფუნქციას, რომელიც მწკრივად იშლება.

ანალიზური ფუნქციის თანამედროვე ცნება ჩამოყალიბდა XIX საუკუნეში, ძირითადად კ. ვაიერშტრასის შრომებში; მის პარალელურად ამავე საკითხებზე მუშაობდნენ ო. კოში და ბ. რიმანი. ამ სამი მეცნიერის მიერ მიღებული შედეგების შესახებ 1898 წელს პუანკარე წერდა: „სამი კონცეფცია რჩება განსხვავებული; ეს ძალიან კარგია, ვინაიდან ამ სამი ხერხიდან ჩვენ შეგვიძლია ავირჩიოთ ჩვენთვის საჭირო და მოვახდინოთ მათი კომბინირება“.

ანალიზურ ფუნქციათა კლასი საკმაოდ ფართოა; იგი მოიცავს უმეტესობას იმ ფუნქციებიდან, რომლებიც გვხვდება მათემატიკასა და ტექნიკაში. ასეთებია ელემენტარული ფუნქციების უმრავლესობა (მაგალითად: (z ≠ 0), e^z, sinz და სხვ.) და მრავალი არაელემენტარული ფუნქცია, მაგალითად: გამა − ფუნქცია, ელიფსური ფუნქციები, ბესელის ფუნქცია. სასრული რაოდენობის ანალიზური ფუნქციების ჯამი და ნამრავლი ან განაყოფი აგრეთვე ანალიზური ფუნქციებია.

ყოველი f(z) ფუნქცია შეიძლება წარმოვადგინოთ ორი ნამდვილი x, y ცვლადის ორი u=u(x,y) და v=v(x,y) ფუნქციის საშუალებით: f(z)=u(x,y)+iv(x,y). იმისათვის, რომ f(z) ფუნქცია იყოს ანალიზური S არეში, აუცილებელია და საკმარისი რომ S არეში u(x,y) და v(x,y) ფუნქციები იყვნენ წარმოებადნი და შესრულდეს პირობები:

კოში – რიმანის, უფრო ზუსტად დალამბერ - ეილერის პირობები.

წყარო

მათემატიკის ენციკლოპედიური ლექსიკონი