მახასიათებელი განტოლება
მახასიათებელი განტოლება
ა) საუკუნის განტოლება – კვადრატული მატრიცის მახასიათებელი განტოლების მოძველებული სახელწოდება.
კვადრატული A მატრიცის მახასიათებელი განტოლება – ეს არის ერთი λ უცნობის ალგებრული განტოლება, რომელსაც ასეთი სახე აქვს:
- det (A – λE) = 0,
სადაც A – მოცემული კვადრატული მატრიცაა, E – იმავე რიგის ერთეულოვანი მატრიცა, ხოლო |A - λE| არის A - λE მატრიცის დეტერმინანტი. მახასიათებელი განტოლება ასეც ჩაიწერება:
მახასიათებელი განტოლებები გვხვდება მათემატიკური ფიზიკის და ტექნიკის სხვადასხვა დარგში. მახასიათებელი განტოლების λ1, λ2,…,λn ფესვებს A მატრიცის საკუთრივ მნიშვნელობებს უწოდებენ.
სახელწოდება „საუკუნის განტოლება“ იმით აიხსნება, რომ ეს განტოლება პირველად შეხვდა ლაპლასს (1772), როცა იგი სწავლობდა პლანეტების მოძრაობაში საუკუნოვან უთანასწორობას ერთი წლის შემდეგ ასეთივე განტოლება მიიღო ლაგრანჟმა, როცა იკვლევდა მეორე რიგის ზედაპირებს. სახელწოდება ლაგრანჟმა მისცა ამ განტოლების პირველი გამოჩენის მოსაგონებლად (1773).
მახასიათებელი განტოლება p-ს (λ-ს მაგივრად) ხარისხების მიმართ განტოლების სახით პირველად გვხვდება იან აშეტთან (1812), ხოლო შემდეგ კოშისთან (1826). დეტერმინანტის სახით ჩაწერილი იგი გამოჩნდა კოშის შრომებში (1829), სადაც p-ს მაგივრად იგი უკვე იყენებდა λ-ს ან r-ს.
შესაბამისი განტოლება ირიბკუთხა კოორდინატებში პირველად მიიღო ბინემ (1813), მოგვიანებით - იაკობმა (1827) და პლიუკერმა (1846).
სახელწოდება „მახასიათებელი განტოლება“ შემოიღო ფრობენიუსმა (1896).
ბ) მახასიათებელი განტოლება მუდმივკოეფიციენტებიანი წრფივი დიფერენციალური განტოლების a0y(n) + a1y(n-1) + ⋯ + an-1y' + an y = 0 ეწოდება ალგებრულ განტოლებას, რომელიც მიიღება მოცემული დიფერენციალური განტოლებიდან y ფუნქციისა და მისი წარმოებულების λ-ს სათანადო ხარისხებით შეცვლით, ე. ი. განტოლებას:
- a0λn + a1 λn-1 + ⋯ + an-1 λ + an = 0.
წრფივ დიფერენციალურ განტოლებათა სისტემისათვის
aik xk, (i=1,2,...,n) მახასიათებელი განტოლება ემთხვევა მოცემული სისტემის განტოლებათა კოეფიციენტებისაგან შედგენილი A = ||aik||1n მატრიცის მახასიათებელ განტოლებას.
