დეტერმინანტი (მათემატიკა)

დეტერმინანტი – განსაკუთრებული მათემატიკური გამოსახულება, რომელიც მათემატიკის სხვადასხვა დარგში გვხვდება.

n - ური რიგის

მატრიცის შესაბამისი ∆ დეტერმინანტი ჩაიწერება შემდეგი სახით:

ან მოკლედ ∆=|α_ij| ∙ a_ij ელემენტის ალგებრული დამატება A_ij არის A დეტერმინანტის გაშლის შედეგად მიღებულ გამოსახულებაში a_ij –ს კოეფიციენტი.

∆ დეტერმინანტი უდრის ჯამს, რომლის ყოველი შესაკრები (∆-ს წევრი) არის ამ მატრიცის n ელემენტის ნამრავლი; ამასთან, მატრიცის ყოველი სტრიქონიდან და ყოველი სვეტიდან ამ ნამრავლში შედის მხოლოდ ერთი ელემენტი. n რიცხვს ეწოდება დეტერმინანტის რიგი.

მეორე და მესამე რიგის დეტერმინანტები გამოითვლება შესაბამისად ფორმულებით:

და

დეტერმინანტებს აქვთ რიგი მნიშვნელოვანი თვისებებისა, რომლებიც აადვილებენ მათ გამოთვლას:

1) დეტერმინანტი არ შეიცვლება, თუ მასში სტრიქონები და სვეტები ადგილს შეიცვლიან.

2) დეტერმინანტი შეიცვლის ნიშანს, თუ მასში ორ სტრიქონს (ან ორ სვეტს) შეუცვლით ადგილებს.

3) დეტერმინანტი ნულის ტოლია, თუ მისი ორი სტრიქონის (ან ორი სვეტის) ელემენტები შესაბამისად პროპორციულნი არიან.

4) დეტერმინანტის ნებისმიერი სტრიქონის (ან სვეტის) ელემენტების საერთო თანამამრავლი შეიძლება დეტერმინანტის ნიშნის გარეთ გამოვიტანოთ.

5) თუ დეტერმინანტის რომელიმე სტრიქონის (ან სვეტის) ყოველი ელემენტი არის ორი შესაკრების ჯამი, მაშინ ეს დეტერმინანტი ტოლია ორი დეტერმინანტის ჯამისა, ამასთანავე, ერთ-ერთ მათგანში შესაბამისი სტრიქონი (სვეტი) შედგება პირველი შესაკრებებისაგან, ხოლო მეორეში – მეორე შესაკრებებისაგან, დანარჩენი სტრიქონები (სვეტები) იგივეა, რაც მოცემულ დეტერმინანტში.

6) დეტერმინანტი არ შეიცვლება, თუ ერთი სტრიქონის (სვეტის) ელემენტებს დაუმატებთ სხვა სტრიქონის (სვეტის) ელემენტებს, გამრავლებულს ნებისმიერ თანამამრავლზე.

სახელწოდება წარმოდგება ლათინური სიტყვიდან determine – „შემოსაზღვრა“, „განსაზღვრა“. ტერმინი პირველად გამოიყენა გაუსმა და აღნიშნავდა კვადრატული ფორმის დისკრიმინანტს (1801). თანამედროვე აზრით ეს ტერმინი შემოიღო კოშიმ (1815).

დეტერმინანტის იდეა ეკუთვნის ლაიბნიცს, რომელიც ამ იდეამდე მივიდა წრფივ განტოლებათა სისტემის ამოხსნისას; მისი ხელნაწერები 1678 წლით თარიღდება. 1693 წელს ლოპიტალისადმი მიწერილ წერილში დეტერმინანტების მეთოდის შესახებ ლაიბნიცი აღნიშნავდა: „ჩემის აზრით ეს არის ანალიზის ერთ-ერთი საუკეთესო აღმოჩენა“. კოეფიციენტების აღნიშვნის თავისი მეთოდი ლაიბნიცმა გამოაქვეყნა 1700 წელს, ყოველგვარი გამოყენებისა და დასკვნების გარეშე. ლოპიტალთან მიმოწერა მხოლოდ 1850 წელს გამოქვეყნდა.

დეტერმინანტები კვლავ აღმოაჩინა შვეიცარიელმა მათემატიკოსმა კრამერმა (1750). ამასთანავე, კრამერი იყენებდა ბუნებრივ ტერმინებს – დეტერმინანტის „სტრიქონი“ და „სვეტი“, რომლებიც შემდგომში კიდევაც დამკვიდრდნენ.

კრამერის მეთოდი მალე შეამჩნიეს და მალეც გახდა სასკოლო პროგრამის ძირითადი ნაწილი. დეტერმინანტებისადმი მიძღვნილი პირველი გამოკვლევები გამოაქვეყნა ფრანგმა მათემატიკოსმა ვანდერმონდმა (1772), სადაც ჩამოყალიბებული იყო ერთიანი თეორია; მასვე ეკუთვნის მრავალი კლასიკური შედეგი:

∆=0, თუ დეტერმინანტის ორი სტრიქონი ტოლია; a_ikA_jk = 0 (i ≠ j) და სხვ.

თანამედროვე აღნიშვნებთან ძალიან ახლოს იყო კოში, რომელიც იყენებდა ჩანაწერს aⁱ_k. XIX საუკუნის ბოლომდე დეტერმინანტის ელემენტებს ასე აღნიშნავდნენ a_r,s.

დეტერმინანტთა თეორიის პირველი სრული გადმოცემა ეკუთვნის ბინეს და კოშის, რომლებიც ერთდროულად მუშაობდნენ დეტერმინანტთა თეორიაზე და რომლებმაც მიღებული შედეგები ერთდროულად გამოაქვეყნეს (1812). კოშიმ დაადგინა დეტერმინანტის ყველა მთავარი თვისება.

შემდგომი ეტაპი ეკუთვნის იაკობს, რომელმაც დეტერმინანტებს მიუძღვნა 30 ნაშრომი (1827-1841), რომელთა შორის იყო დამაგვირგვინებელი სტატია „დეტერმინანტის აგებისა და თვისების შესახებ“. დეტერმინანტების შესახებ პირველი წიგნი დაწერა ფ. ბრიოსკიმ. კ. იაკობმა განსახილველად შემოიღო ფუნქციონალური დეტერმინანტები და გახადა ისინი მათემატიკური ანალიზის კვლევის ობიექტად. იაკობს და ა. კოშის ეკუთვნის ტერმინი „n-ური რიგის დეტერმინანტი“.

XIX საუკუნის ბოლოს დეტერმინანტი შეიჭრა მათემატიკის თითქმის ყველა დარგში. განტოლებათა სისტემის ამოხსნისას წამოჭრილი სხვადასხვა შემთხვევის გამოკვლევა, ამოხსნების არსებობის და ერთადერთობის გარკვევა დეტერმინანტთა თეორიის დახმარებით ჩაატარა კრონეკერმა, რომელმაც თავისი შედეგები ჩამოაყალიბა ლექციების სახით 1864 წელს და შემდეგ გამოქვეყნდა 1903 წელს.

დეტერმინანტების გამოთვლის ორი წესი – სამკუთხედის ხერხით და სვეტების მიწერით – გამოიგონა სტრასბურგელმა პროფესორმა სარიუსმა. კიდევ ერთი წესი დაფუძნებულია თვისებაზე, რომელიც იაკობმა შენიშნა (1841): თუ დეტერმინანტის სტრიქონის ელემენტებს დავუმატებთ სხვა სტრიქონის შესაბამის ელემენტებს გამრავლებულს საერთო მამრავლზე, ამით დეტერმინანტი არ შეიცვლება.

ლაპლასის თეორემა დეტერმინანტის დაშლის შესახებ სვეტების ან სტრიქონების ელემენტების მიხედვით კერძო შემთხვევებში გვხვდება ვანდერმონდთან (1771), ლაპლასთან (1773), ბეზუსთან (1779). იგი მხოლოდ კოშის მიერაა სრულად ფორმირებული და დამტკიცებული (1812). ზოგიერთი თვისება (მაგალითად, ორი სტრიქონის ადგილის შეცვლით დეტერმინანტის ნიშნის შეცვლა და სხვ.) გამოიყვანა ვაიერშტრასმა (1886 - 1887).

აღნიშვნები – დეტერმინანტისათვის ვერტიკალური ხაზები, ხოლო მატრიცისათვის ორი ვერტიკალური ხაზი – შემოიღო კელიმ (1841).

წყარო

მათემატიკის ენციკლოპედიური ლექსიკონი