არაევკლიდური გეომეტრია
არაევკლიდური გეომეტრია – პირდაპირი გაგებით, ევკლიდეს გეომეტრიისაგან განსხვავებული გეომეტრიული სისტემების სახელწოდება. არაევკლიდურ გეომეტრიებს შორის განსაკუთრებული მნიშვნელობა აქვს ლობაჩევსკის (ჰიპერბოლურ) და რიმანის (ელიფსურ) გეომეტრიებს.
ლობაჩევსკის გეომეტრია მიიღება, თუ ევკლიდეს გეომეტრიულ აქსიომათა სისტემაში პარალელობის აქსიომას (V პოსტულატს) შევცვლით შემდეგი აქსიომით: „სიბრტყის წრფის გარე წერტილზე შეიძლება ერთზე მეტი პარალელური (არაგადამკვეთი) წრფის გატარება“, ხოლო დანარჩენ აქსიომებს უცვლელად დავტოვებთ.
რიმანის გეომეტრია მიიღება, თუ ევკლიდეს გეომეტრიის აქსიომათა სისტემაში პარალელობის აქსიომას (V პოსტულატს) შევცვლით შემდეგი აქსიომით: „სიბრტყის წრფის გარე წერტილზე არ შეიძლება არც ერთი პარალელური წრფის გატარება“ და ამავე დროს ზოგიერთ სხვა აქსიომას გამოვრიცხავთ. ამ აქსიომას ასეც აყალიბებენ: „მოცემული წრფის სიბრტყეში მდებარე ყოველი წრფე კვეთს მოცემულ წრფეს“.
ლობაჩევსკის გეომეტრიაში სამკუთხედის კუთხეების ჯამი 180°-ზე ნაკლებია, ევკლიდეს გეომეტრიაში 180° -ის ტოლი, რიმანის გეომეტრიაში 180°-ზე მეტი.
მეხუთე პოსტულატის დამტკიცების ათასწლეობითი ძიებისას იყო მისი საწინააღმდეგოდან დამტკიცების ცდებიც. მათ შორის ისეთი თანმიმდევრული და ღრმად განვითარებული აგებები, როგორიც იყო 1733 წ-ს საკერისა და 1766 წ–ს ლამბერტის მიერ შედგენილი აგებები.
შემდეგი ნაბიჯი იყო დასკვნა, რომ სამართლიანია არა მარტო ევკლიდეს, არამედ „ვარსკვლავური“, „ასტრალური“ გეომეტრიაც. ამ დასკვნამდე მივიდნენ გაუსი, შვეიკარტი და ტაურინუსი. გაუსი ამის შესახებ ფიქრობდა 1792 წ-დან, ე. ი. 15 – 16 წლისა; მას ამ საკითხებზე არაფერი გამოუქვეყნებია მოხდა ისე, რომ გაუსმა თეორიაში შემოიტანა მხოლოდ ტერმინი – „არაევკლიდური გეომეტრია“. შვეიკარტი და მისი ნათესავი ტაურინუსი იურისტები იყვნენ. 1808-1826 წლებში მათ გამოსცეს სამი წიგნი „პარალელების თეორია“-ში. „მათემატიკოსთა მეფეს“ – გაუსს მიმართა აგრეთვე ადრე გარდაცვლილმა მისმა მოწაფემ ვახტერმა, რომელმაც თავისი გარდაცვალების წელს (1817) გამოაქვეყნა ამავე საკითხებისადმი მიძღვნილი სტატია.
1823 – 1826 წლებში ყაზანის უნივერსიტეტის პროფესორმა ლობაჩევსკიმ შექმნა თავისი არაევკლიდური გეომეტრია, რომელსაც მოგვიანებით მან უწოდა პანგეომეტრია (ე. ი. „საყოველთაო გეომეტრია“). 1826 წლის 11 თებერვალს სამეცნიერო საბჭოს წინაშე წაიკითხა მოხსენება „მსჯელობა გეომეტრიის პრინციპების შესახებ“, ხოლო 1829 წელს გამოაქვეყნა იგი. ლობაჩევსკის მეცნიერული იდეები ვერ გაიგეს მისმა თანამედროვეებმა და უარყოფითად შეაფასეს იგი (მაგ. მ. ოსტროგრადსკიმ). 1841 წ-ს ლობაჩევსკის წიგნს „გეომეტრიული გამოკვლევები პარალელური წრფეების შესახებ“ (გერმანულ ენაზე) გაეცნო გაუსი და მას მაღალი შეფასება მისცა ... მეგობრულ მიმოწერაში; საქვეყნოდ კი გაუსის წინადადებით 1842 წ-ს ლობაჩევსკი აირჩიეს გეტინგენის სამეცნიერო საბჭოს წევრ – კორესპონდენტად, „როგორც რუსეთის სახელმწიფოს ერთ-ერთი საუკეთესო მათემატიკოსი“.
იმავე დროს ანალოგიური იდეები ახალი გეომეტრიის შესახებ გამოჩნდა უნგრელი არტილერიის ოფიცერის იანოშ ბოლიაის შრომებშიც (1823). ი. ბოლიაის თხზულება გამოქვეყნდა 1833 წ-ს.
ლობაჩევსკის გეომეტრიის აღიარება დაიწყო 1868 წლიდან, როდესაც ახალგაზრდა ინგლისელმა მათემატიკოსმა კლიფორდმა პირველმა აღიარა ლობაჩევსკის იდეა და ფართო პროპაგანდას უწევდა მას. კლიფორდს ეკუთვნის სიტყვები: „რაც კოპერნიკი იყო პტოლემეისთვის, იგივე იყო ლობაჩევსკი ევკლიდესთვის“.
ფართოა ლობაჩევსკის გეომეტრიის კვლევის არეალი. იგი შეისწავლის აგების ამოცანების, მრავალწახნაგების, წირებისა და ზედაპირების თეორიას. მას იყენებენ რიცხვთა თეორიაში, ფარდობითობის სპეციალურ (კერძო) და ზოგად თეორიებში. თვითონ ლობაჩევსკიმ თავისი გეომეტრია გამოიყენა განსაზღვრული ინტეგრალების გამოსათვლელად და სხვა.
