მაჩვენებლიანი ფუნქცია
მაჩვენებლიანი ფუნქცია – y = ax სახის ფუნქცია (a>0). ამ ფუნქციას ხშირად ასე აღნიშნავენ: y=expax, როგორც შემოკლებული ჩაწერა ლათინური სიტყვისა exponenta.
თუ a=1, მაშინ ნებისმიერი x-თვის exp1(x)=1x=1. თუ a=e (e-ნეპერის რიცხვია), მაშინ expe აღინიშნება მარტივად exp; იგი გამოსახავს y=ex ფუნქციას; ყოველი x – თვის (ნამდვილი ან კომპლექსური) იგი განისაზღვრება ფორმულით
y = ex სახის ფუნქცია ერთადერთი ელემენტარული ფუნქციაა, რომელიც არ იცვლება დიფერენცირებისა და ინტეგრების დროს:
(ex)’ = ex, ∫ex dx = ex + C.
თუ y = ax, მაშინ (ax)’ = ax lna; ∫ ax dx = + C.
მაჩვენებლიანი ფუნქცია შეიძლება გაიშალოს ხარისხოვან მწკრივად, რომელიც კრებადია ყოველი x - თვის:
- ex = 1 + x + x2/2!+ x3/3!+...+xn /n! + ...
აღსანიშნავია მაჩვენებლიანი ფუნქციის შემდეგი თვისებები:
- 1) expa(1) = a;
- 2) ნებისმიერი x - თვის expa(x)> 0, (xϵR);
- 3) ნებისმიერი ნამდვილი x და y-თვის გვაქვს თანაფარდობა:
- expa (x + y) = expa (x) · expa(y), ანუ ax+y = ax ∙ ay
მაჩვენებლიანი ფუნქციის მიმართ შებრუნებულ ფუნქციას ეწოდება ლოგარითმული ფუნქცია: თუ y= ax, მაშინ x = logay.
კომპლექსურ არეში: თუ z=x+iy, მაშინ ez = ex (cosy + i siny), |ez |= ex, Arg ez = y+2kπ kϵZ. ez=ez+2kπi., (ez)'=ez
ezi = cosz + i sinz; e-zi = cosz-i sinz;
მწკრივი ez = zk/k! კრებადია ∀z.