ინტეგრალი განუსაზღვრელი

ინტეგრალი განუსაზღვრელი – f(x) ფუნქციის ნებისმიერ პირველადს (a,b) ინტერვალზე ეწოდება განუსაზღვრელი ინტეგრალი f(x) ფუნქციიდან და აღინიშნება ∫f(x)dx სიმბოლოთი.

შენიშვნა: f(x) ფუნქციის პირველადი (a,b) ინტერვალზე ეწოდება F(x) ფუნქციას, თუ F(x) წარმოებადია (a,b) -ზე და F'(x)=f(x).

თუ f(x) ფუნქციის პირველადია F(x), მაშინ პირველადია აგრეთვე F(x)+C, სადაც C – ნებისმიერი მუდმივი რიცხვია.

განსაზღვრის თანახმად: ∫ f(x)dx = F(x) + C.

პირველადის ამ ზოგად გამოსახულებას ეწოდება განუსაზღვრელი ინტეგრალი f(x) ფუნქციიდან.

განუსაზღვრელი ინტეგრალის მოძებნის ოპერაციას ეწოდება ინტეგრება. ინტეგრება არის გაწარმოების შებრუნებული ოპერაცია.

რაიმე შუალედში ყოველ უწყვეტი ფუნქციას აქვს პირველყოფილი, და მაშასადამე არსებობს განუსაზღვრელი ინტეგრალი. ცნობილია ფუნქციათა მრავალი კლასი, რომელთათვისაც შესაძლებელია გამოვსახოთ მათი განუსაზღვრელი ინტეგრალი ელემენტარული ფუნქციების საშუალებით. ქვემოთ მოცემულია ელემენტარული ფუნქციებიდან ინტეგრების ცხრილი:

1) ∫ xⁿ dx=xⁿ⁺¹/(n+1)+C, n≠-1;

2) ∫ = ln|x| + C;

3) ∫ a^x dx=a^x/lna+C, a>1

4) ∫ e^x dx= e^x + C;

5) ∫ sinx dx = - cosx + C;

6) ∫ cosx dx = sinx + C;

7) ∫ = tgx + C;

8) ∫ = - ctgx + C;

9) ∫ shx dx = chx + C;

10) ∫ chx dx = shx + C;

11) ∫ arc tg(x/a) + C = - arc ctg(x/a) + C;

12)

13) = arc sin⁡(x/a) + C = - arc cos⁡(x/a) + C;

14)

აქ ფესვის ქვეშ როცა გვაქვს x²-a², იგულისხმება, რომ |x|>|a|.

განუსაზღვრელი ინტეგრალისათვის სამართლიანია ნაწილობითი ინტეგრების ფორმულა:

∫ u dv=uv - ∫ v du.

პირველი, ვინც მიუთითა, რომ წირის თვისებები შეიძლება მიღებულ იქნეს მისი მხების თვისებებიდან, იყო დებონი, რომელმაც სწორედ ამ სახის ამოცანა დასვა დეკარტის წინაშე (1638). ამიტომ ინტეგრალური აღრიცხვას უწოდებენ „მხებების შებრუნებულ მეთოდს“ (შებრუნებული „მხებების მეთოდის“ – დიფერენციალური აღრიცხვის მიმართ). 1694 წელს თავის სტატიაში ლაიბნიცმა პირველად შემოიღო ადიტიური მუდმივა და ამით მკვეთრად გამოჰყო განუსაზღვრელი ინტეგრალი. მანამდე ინტეგრალი გამოიყენებოდა მხოლოდ როგორც კვადრატურა, ე.ი. როგორც განსაზღვრული. მანამდე, სანამ გამოჩნდა ინტეგრალების ცხრილი, ერთი რომელიმე ფორმულის მაგივრად მოჰყავდათ რამდენიმე კონკრეტული ინტეგრალი, საიდანაც ცხადი ხდებოდა ზოგადი კანონი (ვალისი, 1656). ნაწილობითი ინტეგრების ხერხი და ჩასმის ხერხი აღმოაჩინა ფერმამ (დაახლ. 1640). წილადის გაშლა მარტივი შესაკრებებად პირველად გამოიყენა ლაიბნიცმა (1702).

წყარო

მათემატიკის ენციკლოპედიური ლექსიკონი