მეორე რიგის წირები

მეორე რიგის წირები – ბრტყელი წირი, რომლის წერტილების დეკარტის კოორდინატები აკმაყოფილებენ მე-2 ხარისხის ალგებრულ განტოლებას:

a₁₁x² + 2a₁₂xy + a₂₂y² + 2a₁₃x + 2a₂₃y + a₃₃ = 0,(*)

ან (a₁₁x + a₁₂y + a₁₃)x + (a₂₁x + a₂₂y + a₂₃)y + (a₃₁x + a₃₂y + a₃₃) = 0

სადაც a₁₁,a₁₂,a₂₂ – ნამდვილი რიცხვებია, რომლებიც ერთდროულად არ არიან ნულის ტოლნი, ამასთანავე a_ik = a_ki (i, k = 1, 2, 3).

ნებისმიერი (*) განტოლებისათვის სამი სიდიდე – I, D, A, წარმოადგენს ინვარიანტულს კოორდინატთა ღერძების გადატანისა და მობრუნების მიმართ, სადაც

ეს ინვარიანტები განსაზღვრავენ მეორე რიგის წირის თვისებებს, დამოუკიდებლად სიბრტყეზე მათი მდებარეობისა.

A ინვარიანტს აგრეთვე უწოდებენ (*) განტოლების დისკრიმინანტს.

მეორე რიგის წირებია: წრეწირი, ელიფსი, ჰიპერბოლა და პარაბოლა, რომლებიც ჯერ კიდევ ანტიკური ხანის მათემატიკოსებმა შეისწავლეს. ამ წირებს ზოგჯერ კონუსური კვეთის წირებს უწოდებენ.

კოორდინატთა მართკუთხა სისტემაში (*) განტოლება კოეფიციენტების მიხედვით დაიყვანება შემდეგი ცხრა კანონიკური სახიდან ერთ-ერთზე, რომელთაგან თითოეულს შეესაბამება მეორე რიგის წირების გარკვეული კლასი.

I. არადაშლადი წირები:

– ელიფსი,

– ჰიპერბოლა,

y = 2px² – პარაბოლა,

II. დაშლადი წირები:

– წარმოსახვითი ელიფსი.

– გადამკვეთ წრფეთა წყვილი,

– წარმოსახვით გადამკვეთ წრფეთა წყვილი,

x² – a² = 0 – პარალელურ წრფეთა წყვილი,

x² + a² = 0 – წარმოსახვით პარალელურ წრფეთა წყვილი,

x² = 0 – თანამთხვევადი წრფეთა წყვილი.

მეორე რიგის წირებს, რომელთაც აქვთ ერთადერთი სიმეტრიის ცენტრი, ეწოდებათ მეორე რიგის ცენტრალური წირები.

კონუსური კვეთები ცნობილი იყო ჯერ კიდევ ძველი საბერძნეთის მათემატიკოსებისათვის. ყველაზე სრული თხზულება, რომელიც მიეძღვნა ამგვარ წირებს, იყო აპოლონიოს პერგელის „კონუსური კვეთები“ (დაახლ. ძვ. წ. 200 წ.).

ბერძენი მათემატიკოსების მიერ კონუსური კვეთების შესწავლისას მიღებული მნიშვნელოვანი შედეგების შემდეგ დადგა დიდი ხნის შესვენება. 12 საუკუნის განმავლობაში არ ყოფილა არც ერთი საყურადღებო აღმოჩენა. მხოლოდ 1522 წ-ს გადაიდგა მნიშვნელოვანი ნაბიჯი, როდესაც ნიურნბერგელმა ი. ვერნერმა წრეწირის დაგეგმილებისას აღმოაჩინა კონუსური კვეთების რამდენიმე ახალი მნიშვნელოვანი თვისება. აღმოჩენების ნაკადი დაიწყო ანალიზური გეომეტრიის შექმნის შემდეგ. პირველ ნაშრომს, რომელშიც წირები განიხილებიან არა როგორც კონუსური კვეთები, არამედ, როგორც მეორე რიგის წირები და მათი კვლევა ხდება დეკარტის საკოორდინატო მეთოდით, ეწოდებოდა „ტრაქტატი კონუსური კვეთების შესახებ, გადმოცემული ახალი ხერხით“ (1655). ვალისის ამ ტრაქტატში ახალი იყო მხოლოდ გადმოცემის ფორმა, არაფერი სხვა, გარდა იმისა, რაც ცნობილი იყო ჯერ კიდევ აპოლონიისათვის, აქ არ შედის. სახელწოდება იმით იყო განპირობებული, რომ ამ წირების განტოლებებში ცვლადები შედიან მეორე ხარისხში.

მალე პირველად იქნა ანალიზურად გამოყვანილი ელიფსისა და ჰიპერბოლის განტოლება, როგორც წერტილთა გეომეტრიული ადგილი, რომელთათვისაც სრულდება პირობები MF₁ + MF₂=2a და MF₁-MF₂=2a. ასეთი გადმოცემა ჩაატარა ვან სხოუტენის მოწაფემ იან დე ვიტმა, რომელიც გარკვეული დროის განმავლობაში ჰოლანდიის (ნიდერლანდების) სახელმწიფოს მეთაური იყო. მისი „მრუდე წირების საწყისები“ დაბეჭდილია დეკარტის „გეომეტრიის“ მეორე გამოცემაში (1659-1661). ჰიპერბოლის განტოლება xy=k სახით პირველად გვხვდება ფერმასთან (1659), თვისება კი MF₁-MF₂=2a აპოლონიისაც აქვს.

კონუსური კვეთების განსაზღვრა ფოკუსის და დირექტრისის საშუალებით, როგორც ჩანს, ევკლიდესთვის ცნობილი იყო, იგი პაპსაც აქვს. სახელწოდება „დირექტრისა“ (პარაბოლისათვის) შემოიღო ლოპიტალმა.

არქიმედემ გამოთვალა პარაბოლური სეგმენტის ფართობი, ამასთანავე, იპოვა ელიფსის ფართობის ფორმულა πab, სადაც იგი უშვებდა, რომ . სენ ვინსეტმა მონახა ფორმულა ჰიპერბოლის რკალსა და ასიმპტოტს შორის ფართობის გამოსათვლელად. მაქსველმა შრომაში „ტრაქტატი ფლუქსიების შესახებ“ (1742) კონუსური კვეთის რკალის სიგრძე წარმოადგინა ინტეგრალის სახით. ლენდენმა აღმოაჩინა, რომ ჰიპერბოლის ნებისმიერი რკალი შეიძლება გამოვსახოთ ორი ელიფსის რკალის სიგრძით. კონუსური კვეთების რკალების შესახებ მრავალი თეორემა მიიღო ფანიანომ (1716), ხოლო შემდგომში ეილერმა (1736, გამოქვეყნებულია 1741). თითქმის ერთდროულად იქნა მოძებნილი ელიფსის სიგრძის მიახლოებითი საანგარიშო ფორმულა 4q= π{α+b+0,5(√α – √b)² } პეანოსა (1887) და ბუსინესკის (1889) მიერ.

კონუსური კვეთების თეორიისადმი ახალი მიდგომა და შემდგომი განვითარება დაკავშირებულია შტაინერისა (1832) და შტაუდტის (1847) სახელებთან.

წყარო

მათემატიკის ენციკლოპედიური ლექსიკონი