ძეტა-ფუნქცია

ძეტა–ფუნქცია რიმანის – კომპლექსური z=a+ib ცვლადის ანალიზური ფუნქცია, რომელიც ასე აღინიშნება ζ(z) და განისაზღვრება მწკრივით:

ζ(z) = 1 + 1/2^z + 1/3^z +...; (*)

ის შეიძლება ანალიზურად გაგრძელდეს მთელ კომპლექსურ სიბრტყეზე და რეგულარულია z –ის ყველა მნიშვნელობისათვის, გარდა z=1, სადაც აქვს მარტივი პოლუსი.

როცა a>1, მაშინ სამართლიანია ამ ფუნქციის წარმოდგენა ეილერის ნამრავლის სახით:

ζ(z) = П_p (1 - 1/p^z)^-1, (**)

სადაც p ღებულობს ყველა მარტივი რიცხვის მნიშვნელობას.

(*) მწკრივისა და (**) ნამრავლის იგივეობა წარმოადგენს ძეტა-ფუნქციის ერთ-ერთ ძირითად თვისებას. იგი საშუალებას იძლევა მივიღოთ მრავალრიცხოვანი თანაფარდობები, რომლებიც ძეტა-ფუნქციას აკავშირებენ მნიშვნელოვან თეორიულ-რიცხვით ფუნქციასთან. ამიტომ, ძეტა-ფუნქცია დიდ როლს თამაშობს რიცხვთა თეორიაში.

წყარო

მათემატიკის ენციკლოპედიური ლექსიკონი