ლაპლასის გარდაქმნა
(ახალი გვერდი: ლაპლასის გარდაქმნა (ლაპლასის ინტეგრალი) – გარდაქმნა, რომელი...) |
|||
| (ერთი მომხმარებლის 3 შუალედური ვერსიები არ არის ნაჩვენები.) | |||
| ხაზი 1: | ხაზი 1: | ||
| − | ლაპლასის გარდაქმნა (ლაპლასის ინტეგრალი) – გარდაქმნა, რომელიც ნამდვილი t | + | '''ლაპლასის გარდაქმნა (ლაპლასის ინტეგრალი)''' – [[გარდაქმნა (მათემატიკაში)|გარდაქმნა]], რომელიც ნამდვილი t [[ცვლადი]]ს (0 < t < ∞) f(t) [[ფუნქცია (მათემატიკური)|ფუნქცია]]ს („ორიგინალს“) გარდაქმნის [[კომპლექსური ცვლადის ფუნქცია|კომპლექსური p = σ + iτ ცვლადის F(p) ფუნქცია]]დ: |
::::F (P) = L [f] = [[ფაილი:Laplasis gardaq011.png]] f(t) e<sup>-pt</sup> dt. | ::::F (P) = L [f] = [[ფაილი:Laplasis gardaq011.png]] f(t) e<sup>-pt</sup> dt. | ||
| − | ამ გარდაქმნაში გულისხმობენ არა მხოლოდ გარდაქმნას, არამედ მის შედეგსაც - F(p) ფუნქციას. ლაპლასის გარდაქმნა არის ინტეგრალური გარდაქმნის კერძო სახე. | + | ამ გარდაქმნაში გულისხმობენ არა მხოლოდ გარდაქმნას, არამედ მის [[შედეგი|შედეგსაც]] - F(p) ფუნქციას. ლაპლასის გარდაქმნა არის [[ინტეგრალი|ინტეგრალური]] გარდაქმნის კერძო სახე. |
| − | ლაპლასმა გარდაქმნა შემოიღო ორი ფორმით (1782): | + | [[ლაპლასი პიერ სიმონ|ლაპლასმა]] გარდაქმნა შემოიღო ორი ფორმით (1782): |
::::{| | ::::{| | ||
| ხაზი 12: | ხაზი 12: | ||
|} | |} | ||
| − | მან ეს მეთოდი განავითარა მემუარების ციკლში (1788 -1812) და აჩვენა, რომ იგი შეიძლება გამოყენებულ იქნას n რიგის განტოლებებისათვის. | + | მან ეს [[მეთოდი (მათემატიკური)|მეთოდი]] განავითარა მემუარების ციკლში (1788 -1812) და აჩვენა, რომ იგი შეიძლება გამოყენებულ იქნას n რიგის [[განტოლება|განტოლებებისათვის]]. |
| − | ლაპლასის გარდაქმნა წრფივი ფუნქციონალური გარდაქმნაა. | + | ლაპლასის გარდაქმნა წრფივი [[ფუნქციონალი|ფუნქციონალური]] გარდაქმნაა. |
| − | გარკვეულ პირობებში ლაპლასის გარდაქმნა f (t) ფუნქციას განსაზღვრავს ცალსახად. უმარტივეს შემთხვევაში შებრუნების ფორმულით: | + | გარკვეულ პირობებში ლაპლასის გარდაქმნა f (t) ფუნქციას განსაზღვრავს ცალსახად. უმარტივეს შემთხვევაში შებრუნების [[ფორმულა|ფორმულით]]: |
::::[[ფაილი:Laplasis gardaq023.png]] | ::::[[ფაილი:Laplasis gardaq023.png]] | ||
| − | ლაპლასი არ ისახავდა მიზნად მოცემული გარდაქმნის შებრუნების (შექცევის) ამოცანას. ლაპლასის გარდაქმნის შებრუნება ეკუთვნის ინგლისელ მათემატიკოსს მერფის (1833). ლაპლასის მეთოდი განავითარეს ლაკრუამ, პუასონმა და კოშიმ (1827). ამ მეთოდს ზოგჯერ იყენებს ეილერიც თავის შრომებში (1737, 1744, 1759, 1763). ლაპლასის გარდაქმნას იყენებენ დიფერენციალურ | + | ლაპლასი არ ისახავდა მიზნად მოცემული გარდაქმნის შებრუნების (შექცევის) [[ამოცანა (მათემატიკა)|ამოცანას]]. ლაპლასის გარდაქმნის შებრუნება ეკუთვნის ინგლისელ მათემატიკოსს მერფის (1833). ლაპლასის [[მეთოდი (მათემატიკური)|მეთოდი]] განავითარეს ლაკრუამ, პუასონმა და კოშიმ (1827). ამ მეთოდს ზოგჯერ იყენებს [[ეილერი ლეონარდ|ეილერიც]] თავის შრომებში (1737, 1744, 1759, 1763). ლაპლასის გარდაქმნას იყენებენ [[დიფერენციალური განტოლება|დიფერენციალურ განტოლება]]თა [[ინტეგრება|ინტეგრების]] დროს. ამასთანავე, ელექტროტექნიკის, [[ჰიდროდინამიკა|ჰიდროდინამიკის]], მექანიკური სითბოგამტარობის მრავალრიცხოვანი ამოცანა ეფექტურად [[ამოხსნა|ამოიხსნება]] იმ მეთოდებით, რომლებშიც ლაპლასის გარდაქმნაა გამოყენებული. |
სახელწოდება „ლაპლასის გარდაქმნა“ შემოიღო პუანკარემ. | სახელწოდება „ლაპლასის გარდაქმნა“ შემოიღო პუანკარემ. | ||
მიმდინარე ცვლილება 19:07, 16 მარტი 2024 მდგომარეობით
ლაპლასის გარდაქმნა (ლაპლასის ინტეგრალი) – გარდაქმნა, რომელიც ნამდვილი t ცვლადის (0 < t < ∞) f(t) ფუნქციას („ორიგინალს“) გარდაქმნის კომპლექსური p = σ + iτ ცვლადის F(p) ფუნქციად:
- F (P) = L [f] =
f(t) e-pt dt.
- F (P) = L [f] =
ამ გარდაქმნაში გულისხმობენ არა მხოლოდ გარდაქმნას, არამედ მის შედეგსაც - F(p) ფუნქციას. ლაპლასის გარდაქმნა არის ინტეგრალური გარდაქმნის კერძო სახე.
ლაპლასმა გარდაქმნა შემოიღო ორი ფორმით (1782):
F(p) = 
t P f (t) dt და F(p) = e-pt f (t) dt.
მან ეს მეთოდი განავითარა მემუარების ციკლში (1788 -1812) და აჩვენა, რომ იგი შეიძლება გამოყენებულ იქნას n რიგის განტოლებებისათვის.
ლაპლასის გარდაქმნა წრფივი ფუნქციონალური გარდაქმნაა.
გარკვეულ პირობებში ლაპლასის გარდაქმნა f (t) ფუნქციას განსაზღვრავს ცალსახად. უმარტივეს შემთხვევაში შებრუნების ფორმულით:
ლაპლასი არ ისახავდა მიზნად მოცემული გარდაქმნის შებრუნების (შექცევის) ამოცანას. ლაპლასის გარდაქმნის შებრუნება ეკუთვნის ინგლისელ მათემატიკოსს მერფის (1833). ლაპლასის მეთოდი განავითარეს ლაკრუამ, პუასონმა და კოშიმ (1827). ამ მეთოდს ზოგჯერ იყენებს ეილერიც თავის შრომებში (1737, 1744, 1759, 1763). ლაპლასის გარდაქმნას იყენებენ დიფერენციალურ განტოლებათა ინტეგრების დროს. ამასთანავე, ელექტროტექნიკის, ჰიდროდინამიკის, მექანიკური სითბოგამტარობის მრავალრიცხოვანი ამოცანა ეფექტურად ამოიხსნება იმ მეთოდებით, რომლებშიც ლაპლასის გარდაქმნაა გამოყენებული.
სახელწოდება „ლაპლასის გარდაქმნა“ შემოიღო პუანკარემ.
