ინტეგრალური განტოლება
ინტეგრალური განტოლება – განტოლება, რომელიც უცნობ ფუნქციას შეიცავს ინტეგრალის ნიშნის ქვეშ. ინტეგრალური განტოლებები იყოფა ორ ძირითად კლასად: წრფივ და არაწრფივ ინტეგრალურ განტოლებებად. უმეტესად დამუშავებულია წრფივ ინტეგრალურ განტოლებათა თეორია. ამ განტოლებას ზოგადად ასეთი სახე აქვს:
A(x)∙φ(x) + 
K(x,s)∙φ(s) ds = f(x), xϵD. (1)
აქ A,K,f – მოცემული ფუნქციებია, A – ინტეგრალური განტოლების კოეფიციენტი, K – ბირთვი, f – თავისუფალი წევრი, D – ერთი ან მრავალი განზომილების ევკლიდეს სივრცის შემოსაზღვრული ან შემოუსაზღვრელი არე, x,s – ამ არის წერტილები, ds - მოცულობის ელემენტი, φ – საძებნი ფუნქცია. თუ f=0, მაშინ ინტეგრალურ განტოლებას ეწოდება ერთგვაროვანი, წინააღმდეგ შემთხვევაში – არაერთგვაროვანი.
A კოეფიციენტის მიხედვით არჩევენ სამი სახის ინტეგრალურ განტოლებას. თუ A(x) = 0 ყველა x- თვის, მაშინ (1) -ს ეწოდება პირველი გვარის ინტეგრალური განტოლება; თუ A(x)≠0 ყველა x- თვის, მაშინ (1)-ს მეორე გვარის ინტეგრალურ განტოლებას უწოდებენ; თუ A(x) ხდება ნულის ტოლი მხოლოდ ზოგიერთი x -თვის, მაშინ (1) იქნება მესამე გვარის ინტეგრალური განტოლება.
თუ D არე სასრულია, მაგალითად, ერთგანზომილებიანი [a,b] სეგმენტი, მაშინ პირველი და მეორე გვარის {როცა A(x)=1} ინტეგრალური განტოლებები წარმოიდგინებიან ასეთი სახით:
K(x,s)∙φ(s) ds = f(x), xϵ [a,b], (2) φ(x) - λ K(x,s)∙φ(s) ds = f(x), xϵ [a,b], (3)
λ ღებულობს ნამდვილ ან კომპლექსურ მნიშვნელობას და მას ეწოდება ინტეგრალური განტოლების პარამეტრი, ხოლო (2) და (3) განტოლებებს შესაბამისად ფრედჰოლმის პირველი და მეორე გვარის განტოლებები.
თუ K ბირთვი ნულის ტოლი ხდება, როცა s>x (ე. წ. ვოლტერას ბირთვი), მაშინ (2) და (3) განტოლებები შესაბამისად იღებენ სახეს:
K(x,s)∙φ(s) ds = f(x), a≤s≤x≤b, φ(x) - λ K(x,s)∙φ(s) ds = f(x), a≤s≤x≤b.
ამ განტოლებებს შესაბამისად ეწოდებათ ვოლტერას პირველი და მეორე გვარის ინტეგრალური განტოლებები.
პირველად ინტეგრალური განტოლება განიხილა და ამოხსნა აბელმა. XIX საუკუნის მათემატიკოსები იხილავდნენ სხვადასხვა სახის ინტეგრალურ განტოლებებს, განსაკუთრებით ლაპლასის გარდაქმნების გამოყენებისას. ინტეგრალური განტოლებების ზოგადი თეორიის შექმნა იწყება ვოლტერას შრომებში. მთელ რიგ სტატიებში (1884–1896) მან განავითარა ზოგადი მეთოდი, რომელიც შემდეგ საფუძვლად დაედო ფრედჰოლმისა და ჰილბერტის შრომებს. პარიზის მეცნიერებათა აკადემიამ 1908 წ-ს ფრედჰოლმს მიანიჭა პონსელიეს პრემია ინტეგრალურ განტოლებებში 1900–1903 წლების შრომებისათვის.
ფრედჰოლმის კვალდაკვალ ინტეგრალურ განტოლებათა თეორიას ანვითარებდა ჰილბერტი. მის მიერ სემინარებზე და ლექციებზე ჩამოყალიბებულმა შედეგებმა 6 სტატია შეადგინეს (1904–1910), რომლებიც შემდგომ ცალკე წიგნად გამოიცა (1912).
ტერმინი „ინტეგრალური განტოლება“ პირველად შემოიღო დიუბუა რეიმონმა (1888), ხოლო შემდეგ – ჰილბერტმა. მანვე შემოიღო კლასიფიკაცია – პირველი და მეორე გვარის ინტეგრალური განტოლებები (1904). შემდეგ პიკარმა სახელწოდებას დაუმატა ვოლტერას სახელი. XX საუკუნის დასაწყისში შემოდის ტერმინები „ბირთვი“, „სპექტრი“, „საკუთრივი მნიშვნელობა“ და სხვ. სახელწოდება Kern – „ბირთვი“ შემოიღო ჰილბერტმა და ლიტერატურაში პირველად გვხვდება მის სტატიაში (1904), ხოლო შემდეგ ე. შმიდტის სტატიაში (1907).
