ინდუქცია
ინდუქცია (ლათ. inductio სიტყვასიტყვით ნიშნავს „დამიზნებას“, „მიმიზნებას“, „დაყენებას“) – დასკვნისა და დასაბუთების სახე; აზროვნების მეთოდი – კერძო ფაქტებიდან, ცალკეული დებულებებიდან ზოგადი დასკვნის გამოყვანა (საპირისპიროა – დედუქცია); ანუ ეს არის აზროვნების ფორმა, რომლის საშუალებითაც აზრი მიიყვანება რაიმე ზოგად მტკიცებაზე ან დებულებაზე, რაც ახასიათებს რაიმე ერთობლიობის ყველა ცალკეულ საგანს. ინდუქცია ხშირად გამოიყენება აზროვნების სხვა ფორმასთან, დედუქციასთან შერწყმით. მათემატიკაში იხმარება ინდუქციის შემდეგი ოთხი სახე:
1. არასრული ინდუქცია – დასკვნა კერძოდან ზოგადისაკენ, ე.ი. ზოგადი დასკვნა, რომელიც დაფუძნებულია ცალკეული, კერძო ფაქტების (კერძო დაკვირვების ან ექსპერიმენტების) შესწავლაზე.
2. სრული ინდუქცია – დასკვნა, რომელიც დაფუძნებულია ყველა კერძო ფაქტის (ობიექტის, ფიგურების, რიცხვების) ან მოცემული სასრული სიმრავლის ყველა ელემენტის განხილვაზე.
3. მათემატიკური ინდუქცია – მათემატიკაში მსჯელობის დამტკიცების ერთ-ერთი მნიშვნელოვანი მეთოდი, რომელიც დაფუძნებულია მათემატიკური ინდუქციის პრინციპზე (აქსიომაზე).
მათემატიკური ინდუქციის პრინციპი შემდეგში მდგომარეობს: თუ რაიმე A(n) წინადადება (nϵN) ჭეშმარიტია n=1 -თვის, და იმ დაშვებიდან, რომ იგი ჭეშმარიტია n=k რიცხვისათვის გამომდინარეობს მისი ჭეშმარიტება შემდეგი n=k+1 რიცხვისათვის, მაშინ ეს წინადადება მართებულია ნებისმიერი n - თვის (nϵN).
4. ტრანსფინიტური ინდუქცია – მათემატიკური ინდუქციის მეთოდის განზოგადება. იგი შემდეგში მდგომარეობს: ვთქვათ, მოცემულია სავსებით მოწესრიგებული სიმრავლე A და რაიმე მტკიცება P(a), რომელიც ჩამოყალიბებულია A სიმრავლის ყველა a -თვის (aϵA), და ისეთი, რომ P(a) მართებულია A-ს პირველი ელემენტისათვის და მართებულია a - თვის, თუ იგი მართებულია a-ს წინა ყველა ელემენტისათვის. მაშინ P(a) მართებულია ყველა a - თვის, aϵA.
შენიშვნა: ტრანსფინიტური რიცხვები – უსასრულო სიმრავლისათვის რიგობითი რიცხვის ცნების განზოგადება. ტრანსფინიტური ინდუქცია წარმოებს ტრანსფინიტური რიცხვებით.
ტერმინი „მათემატიკური ინდუქცია“ პირველად გამოჩნდა 1838 წელს ბრიტანეთის ენციკლოპედიაში, დე'მორგანის სტატიაში “ინდუქცია (მათემატიკური)“. მას მრავალჯერ იყენებდა ტოდგენტერი თავის პოპულარულ ალგებრის სახელმძღვანელოში, რის შემდეგაც ტერმინი გახდა საყოველთაოდ მიღებული.
სიტყვა „ინდუქცია“ მათემატიკაში შემოიღო ვალისმა („საყოველთაო არითმეტიკა“, 1656), რომელმაც ტერმინი გადმოიღო ფილოსოფიიდან, სადაც იგი აღნიშნავდა გადასვლას კერძოდან ზოგადზე. ვალისიდან დე'მორგანამდე ტერმინს იყენებდნენ ორივე (მათემატიკური და ფილოსოფიური) აზრით. შემდგომ დე’მორგანმა შემოიღო სახელწოდება, რომელიც მკვეთრად გამოყოფს მათემატიკურ აზრს ფილოსოფიურისაგან.
ეს მეთოდი არაცხადი სახით უკვე იყო გამოყენებული ევკლიდეს „საწყისებში“. სრულიად გარკვეული ფორმით ის პირველად გვხვდება პასკალის ნაშრომში კომბინატორიკის შესახებ (დაახლ. 1665). შესაძლოა პასკალმა იცოდა, რომ ასეთი მეთოდი ჰქონდა მავროლიკოს (1575). შემდგომში გამოირკვა, რომ 1321 წელს პრინციპი ჩამოაყალიბა ლევი ბენ გერშენმა.
