ბეტა-ფუნქცია

ბეტა ფუნქცია – ორი ცვლადის ფუნქცია, რომელიც ეილერის პირველი გვარის ინტეგრალის ტოლია და ასე აღინიშნება B(p, q) და როცა p >0, q >0 განისაზღვრება ტოლობით.

B(p,q) = tp-1 (1-t)q-1 dt

(Rep>0, Req>0)

(*)

(ეილერის პირველი გვარის ინტეგრალი),

თუ p და q კომპლექსურია, მაშინ (*) ინტეგრალი იკრიბება, როცა Rep >0, Req >0.

(*) – ის მონათესავე ინტეგრალს t^p-1 (1-t)^p-1 dt იხილავდა ვალისი (1659), ნიუტონი (1676), სტირლინგი (1730). მაგრამ, (*) ინტეგრალისადმი მიძღვნილი პირველსაწყისი მნიშვნელოვანი შრომები ეკუთვნის ეილერს (1730). სახელწოდება „ეილერის პირველი გვარის ინტეგრალი“ შემოიღო ლეჟანდრმა (1811), ხოლო სახელწოდება „ბეტა-ფუნქცია“ და აღნიშვნა B(p, q) – ბინემ (1839).

აღსანიშნავია B(p, q) ფუნქციის შემდეგი თვისებები:

1) B(p,q) = B(q,p), როცა p>0, q>0.

2) B(p,q) = B(p, q-1), როცა p>0, q >1;

B(p,q) = B(p-1,q), როცა p >1, q>0.

3) B(p,n) = B(n,p) = , როცა ∀m, n∈ N.

კერძოდ, B(p,1) = ; B(m,n) = , როცა p >0, n∈ N

4) ადგილი აქვს ტოლობასაც:

5) B(p, q) ფუნქცია გამა-ფუნქციის საშუალებით ასე გამოისახება:

B(p,q) = = B(q,p).

6) B(p,1-p) = 0 < a <1.

წყარო

მათემატიკის ენციკლოპედიური ლექსიკონი