სფერული ტრიგონომეტრია

სფერული ტრიგონომეტრია – სფერული სამკუთხედის ტრიგონომეტრია, ანუ მათემატიკის დარგი, რომელიც შეისწავლის დამოკიდებულებას სფერული სამკუთხედის გვერდებსა (მათ სიგრძეებსა) და კუთხეებს (მათ სიდიდეებს) შორის.

თუ ABC სფერული სამკუთხედის კუთხეებია A, B, C, ხოლო a, b, c – მათ პირდაპირ მდებარე გვერდებია, მაშინ კუთხეები და გვერდები დაკავშირებულია შემდეგი ძირითადი ფორმულებით:

sina/sinA = sinb/sinB = sinc/sinC;

cosa = cosb cosc + sinb sinc cosA,

cosA = - cosB cosC + sinB sinC cosa,

sina cosB = cosb sinc - sinb cosc cosA,

sinA cosb = cosB sinC + sinB cosC cosa.

ამ ფორმულებში a, b, c გვერდბი იზომება შესაბამისი ცენტრალური კუთხეებით. ამ გვერდების სიგრძეები უდრის შესაბამისად aR, bR, cR, სადაც R სფეროს რადიუსია.

ამოცანების ამოხსნის დროს მოსახერხებელია დალამბერის ფორმულები, რომლებიც აკავშირებენ სფერული სამკუთხედის ექვსივე ელემენტს:

sin(a/2) · cos [(B-C)/2] = sin(A/2) · sin [(b+c)/2],

sin(a/2) · sin [(B-C)/2] = cos(A/2) · sin [(b-c)/2],

cos(a/2) · cos [(B+C)/2] = sin(A/2) · cos [(b+c)/2],

cos(a/2) · sin [(B+C)/2] = cos(A/2) · cos [(b-c)/2],

გარდა ამ ფორმულებისა, ცნობილია გ. ბრიგსის და ჯ. ნეპერის შემდეგი ფორმულები:

(გ. ბრიგსი),

(ჯ. ნეპერი).

სფერული ტრიგონომეტრია წარმოიქმნა ასტრონომიასთან დაკავშირებით, გაცილებით უფრო ადრე, ვიდრე ბრტყელი ტრიგონომეტრია. სფერული სამკუთხედის თვისებები და მათი ამოხსნის სხვადასხვა შემთხვევა ცნობილი იყო ჯერ კიდევ ბერძენი მათემატიკოსებისათვის (მენელაე, პტოლომეოსი). სფერული ტრიგონომეტრიის ძირითადი თეორემები აღმოაჩინეს შუა საუკუნეების აღმოსავლეთის მეცნიერებმა ალ-ბატანიმ (IX ს), იბნ არაკმა ხორეზმიდან (X ს), აბულ ვაფამ ხორეზმიდან (X ს) და ალ-ხოჯანიმ (X ს). სფერული ტრიგონომეტრიის სისტემა პირველად ჩამოაყალიბა ნასირ ად-დინ ატ-ტუსიმ (XIII ს); მან პირველად განაცალკევა ტრიგონომეტრია, როგორც მეცნიერება ასტრონომიისაგან, რომელიც შემდგომში განავითარეს რეგიომონტანამ, ფ. ვიეტამ, ლ. ეილერმა და სხვ.

წყარო

მათემატიკის ენციკლოპედიური ლექსიკონი