სრულყოფილი რიცხვი
რიცხვი სრულყოფილი – მთელი დადებითი რიცხვი, რომელიც ტოლია ყველა თავისი გამყოფის ჯამისა ერთის ჩათვლით, გარდა თვით ამ რიცხვისა.
- მაგალითად ერთეულებში ერთადერთი სრულყოფილი რიცხვია 6: 6 =1+2+3;
- ათეულებში ერთადერთი სრულყოფილი რიცხვია 28: 28 = 1+2+4+7+14;
- ასეულებში 496: 496 = 1+2+4+8+16+31+62+124+248;
- ათასეულებში ერთადერთი სრულყოფილი რიცხვია 8128.
პირველი მნიშვნელოვანი ნაბიჯი სრულყოფილი რიცხვების თეორიის ასაგებად ჯერ კიდევ ევკლიდემ გადადგა, რომელმაც თავის „საწყისებში“ (წიგნი IX) მოგვცა „სრულყოფილი რიცხვების“ მოსაძებნი ფორმულა. თუ ჯამი P=1+2+22+23+...+2n-1 = 2n–1 მარტივი რიცხვია, მაშინ 2n-1(2n–1) ყოველთვის იქნება სრულყოფილი რიცხვი. მაგალითად: თუ n=3, მაშინ 23 −1 = 7 მარტივი რიცხვია და, მაშასადამე, 23-1 (23 –1)= 4∙7=28 იქნება სრულყოფილი რიცხვი.
2n -1 სახის მარტივ რიცხვებს ეწოდება XVIII საუკუნის ფრანგი მათემატიკოსის მარენ მერსენის რიცხვები.
ევკლიდეს ფორმულის გამოყენებით ძველი საბერძნეთის მათემატიკოსმა ნიკომახმა (I-II სს.) შეძლო მოეძებნა სრულყოფილი რიცხვები 6, 28, 496, 8128 (როცა n= 1, 2, 4, 6). მეხუთე სრულყოფილი რიცხვი 33550336 (როცა n=12) აღმოაჩინეს მხოლოდ XV ს-ში. შემდგომი სრულყოფილი რიცხვები აღმოაჩინა მერსენმა. ევკლიდეს ფორმულით მოძებნილი ყველა სრულყოფილი რიცხვი ლუწია. არსებობს თუ არა კენტი სრულყოფილი რიცხვი – უცნობია.
სრულყოფილი რიცხვებია: 2(22 – 1), 22 (23-1), 24 (25-1), 26 (27-1), 212 (213-1) ⋯ 22280 (22281-1). 1957 წლისათვის უდიდესი ცნობილი სრულყოფილი რიცხვი იყო 23216 (23217 – 1). ეგმ-ის დახმარებით მოიძებნა დიდი სრულყოფილი რიცხვები; მაგალითად, 1962 წელს რიცხვი 24422 (24423-1), ხოლო 1965 წელს რიცხვი 211212 (211213 – 1).
სრულყოფილ რიცხვებს გააჩნიათ მთელი რიგი საიდუმლო და ამასთანავე შესანიშნავი თვისებები. მაგალითად, ყველა სრულყოფილი რიცხვი „სამკუთხაა“; ეს ნიშნავს, რომ თუ ავიღებთ სრულყოფილი რიცხვის ტოლი რაოდენობის ბურთულებს, ისინი შეიძლება ისე დავალაგოთ, რომ შეიქმნას ტოლგვერდა სამკუთხედი; ე.ი. ყოველი სრულყოფილი რიცხვი (1+2+3+ ... +n) ჯამის სახისაა.
ასევე ადვილი შესამჩნევია, რომ ყოველი სრულყოფილი რიცხვი, გარდა 6-ისა, არის კერძო ჯამი კენტი რიცხვების კუბების ჯამის მწკრივისა: 13+33 +53 +73+... .
კიდევ ერთი თვისება: სრულყოფილი რიცხვების გამყოფთა შებრუნებული მნიშვნელობების ჯამი, თვით სრულყოფილი რიცხვის, როგორც გამყოფის ჩათვლით, ყოველთვის 2-ის ტოლია. მაგალითად, რიცხვისათვის 28 გვაქვს:
