ბერნულის ლემნისკატა
(ახალი გვერდი: '''ბერნულის ლემნისკატა''' – (''ლათ''. lemniskatus – ბაფთებით მორთული) – მე-4 ...) |
|||
| (ერთი მომხმარებლის ერთი შუალედური ვერსია არ არის ნაჩვენები.) | |||
| ხაზი 1: | ხაზი 1: | ||
| − | '''ბერნულის ლემნისკატა''' – (''ლათ''. lemniskatus – ბაფთებით მორთული) – მე-4 რიგის ბრტყელი ალგებრული წირი, რომელსაც აქვს რვიანის ფორმა და რომლის წერტილების კოორდინატები დეკარტეს მართკუთხა კოორდინატთა სისტემაში აკმაყოფილებენ | + | '''ბერნულის ლემნისკატა''' – (''ლათ''. lemniskatus – ბაფთებით მორთული) – მე-4 რიგის ბრტყელი [[ალგებრული წირი]], რომელსაც აქვს რვიანის ფორმა და რომლის [[წერტილი (გეომეტრია)|წერტილების]] [[კოორდინატები]] [[მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა|დეკარტეს მართკუთხა კოორდინატთა სისტემაში]] აკმაყოფილებენ [[განტოლება]]ს: |
::::(x<sup>2</sup> + y<sup>2</sup>)<sup>2</sup> - 2a<sup>2</sup> (x<sup>2</sup> - y<sup>2</sup>) = 0. | ::::(x<sup>2</sup> + y<sup>2</sup>)<sup>2</sup> - 2a<sup>2</sup> (x<sup>2</sup> - y<sup>2</sup>) = 0. | ||
| − | პოლარულ კოორდინატებში მისი განტოლებაა: p<sup>2</sup> = 2a<sup>2</sup> Cos2φ. | + | [[პოლარული კოორდინატები|პოლარულ კოორდინატებში]] მისი განტოლებაა: p<sup>2</sup> = 2a<sup>2</sup> Cos2φ. |
| + | [[ფაილი:Bernulis lemniskata.jpg|მარჯვნივ|200პქ]] | ||
| + | ბერნულის ლემნისკატას ყოველი M წერტილიდან მოცემულ ორ F<sub>1</sub> (-a,0) და F<sub>2</sub> (a,0) წერტილებამდე ([[ფოკუსი|ფოკუსებამდე]]) r<sub>1</sub> და r<sub>2</sub> [[მანძილი (გეომეტრია)|მანძილების]] [[ნამრავლი]] ტოლია F<sub>1</sub> და F<sub>2</sub> [[წერტილი (გეომეტრია)|წერტილებს]] შორის მანძილის ნახევრის კვადრატისა (ანუ მუდმივი a<sup>2</sup> რიცხვის ტოლია). | ||
| − | + | [[წირი]] [[სიმეტრიულობა|სიმეტრიულია]] [[საკოორდინატო ღერძი|საკოორდინატო ღერძების]] მიმართ; [[კოორდინატთა სათავე]] საკვანძო წერტილია (y = ± x [[მხები|მხებებით]]) და ამასთანავე, [[გადაღუნვის წერტილი]]. | |
| − | + | [[რადიუსი სიმრუდის|სიმრუდის რადიუსი]] R=2a<sup>2</sup>/3p. თითოეული მარყუჟის [[ფართობი (გეომეტრია)|ფართობი]] S = a<sup>2</sup>. | |
| − | + | ეს წირი პირველად შეისწავლა [[იაკობ ბერნული]]მ (1694) და სახელიც მან მისცა. წირით შემოსაზღვრული ფართობი განსაზღვრა ფანიანომ (1750). ახლა ეს შედეგი ადვილად მიიღება, მაგრამ თავის დროზე მათემატიკოსები თვლიდნენ, რომ არ შეიძლება იმ წირის კვადრატურის მიღება, რომელსაც რამდენიმე ფურცელი აქვს. | |
| − | + | ფანიანო იმდენად იყო აღტაცებული თავისი აღმოჩენის მნიშვნელობით, რომ [[ლემნისკატა|ლემნისკატის]] [[ფიგურა (გეომეტრიული)|ფიგურა]] მოათავსა თავისი დიდი ნაშრომის თავფურცელზე და გაუკეთა ასეთი წარწერა: „გაზომილია მრავალჯერადი დაყოფით. დიდება ჭეშმარიტ ღმერთს“. | |
| − | + | ლემნისკატას იყენებენ გარდამავალ ხაზათ სწორი ხაზიდან მცირე რადიუსიან მომრგვალებაზე გადასასვლელად (მაგალითად, [[ტრამვაი]]ს ან [[რკინიგზის ლიანდაგი]]ს ხაზზე), რაც უზრუნველყოფს მდოვრედ გადასვლას. | |
| − | + | ||
| − | ლემნისკატას იყენებენ გარდამავალ ხაზათ სწორი ხაზიდან მცირე რადიუსიან მომრგვალებაზე გადასასვლელად (მაგალითად, | + | |
==წყარო== | ==წყარო== | ||
მიმდინარე ცვლილება 21:58, 15 ივლისი 2024 მდგომარეობით
ბერნულის ლემნისკატა – (ლათ. lemniskatus – ბაფთებით მორთული) – მე-4 რიგის ბრტყელი ალგებრული წირი, რომელსაც აქვს რვიანის ფორმა და რომლის წერტილების კოორდინატები დეკარტეს მართკუთხა კოორდინატთა სისტემაში აკმაყოფილებენ განტოლებას:
- (x2 + y2)2 - 2a2 (x2 - y2) = 0.
პოლარულ კოორდინატებში მისი განტოლებაა: p2 = 2a2 Cos2φ.
ბერნულის ლემნისკატას ყოველი M წერტილიდან მოცემულ ორ F1 (-a,0) და F2 (a,0) წერტილებამდე (ფოკუსებამდე) r1 და r2 მანძილების ნამრავლი ტოლია F1 და F2 წერტილებს შორის მანძილის ნახევრის კვადრატისა (ანუ მუდმივი a2 რიცხვის ტოლია).
წირი სიმეტრიულია საკოორდინატო ღერძების მიმართ; კოორდინატთა სათავე საკვანძო წერტილია (y = ± x მხებებით) და ამასთანავე, გადაღუნვის წერტილი.
სიმრუდის რადიუსი R=2a2/3p. თითოეული მარყუჟის ფართობი S = a2.
ეს წირი პირველად შეისწავლა იაკობ ბერნულიმ (1694) და სახელიც მან მისცა. წირით შემოსაზღვრული ფართობი განსაზღვრა ფანიანომ (1750). ახლა ეს შედეგი ადვილად მიიღება, მაგრამ თავის დროზე მათემატიკოსები თვლიდნენ, რომ არ შეიძლება იმ წირის კვადრატურის მიღება, რომელსაც რამდენიმე ფურცელი აქვს.
ფანიანო იმდენად იყო აღტაცებული თავისი აღმოჩენის მნიშვნელობით, რომ ლემნისკატის ფიგურა მოათავსა თავისი დიდი ნაშრომის თავფურცელზე და გაუკეთა ასეთი წარწერა: „გაზომილია მრავალჯერადი დაყოფით. დიდება ჭეშმარიტ ღმერთს“.
ლემნისკატას იყენებენ გარდამავალ ხაზათ სწორი ხაზიდან მცირე რადიუსიან მომრგვალებაზე გადასასვლელად (მაგალითად, ტრამვაის ან რკინიგზის ლიანდაგის ხაზზე), რაც უზრუნველყოფს მდოვრედ გადასვლას.
