კოში-რიმანის განტოლებები
კოში-რიმანის (დალამბერ-ეილერის) განტოლებები − პირველი რიგის კერძოწარმოებულიანი დიფერენციალურ განტოლებათა სისტემა:
ამ სისტემის ამონახსნები არიან შეუღლებული ჰარმონიული ფუნქციები. ამ ამონახსნის u და v ფუნქციათა წყვილი შეიძლება განვიხილოთ, როგორც კომპლექსური z = x + iy ცვლადის რაიმე ანალიზური w=u+iv ფუნქციის ნამდვილი და წარმოსახვითი ნაწილი. შებრუნებითაც, კომპლექსური z=x+iy ცვლადის ანალიზური ფუნქციის ნამდვილი და წარმოსახვითი ნაწილები აკმაყოფილებენ კოში-რიმანის განტოლებებს.
ეს განტოლებები უფრო ადრე განხილული იყო დალამბერისა (1746, 1752) და ეილერის (1755) ნაშრომებში, სადაც ნაჩვენებია, რომ (თუმცა, არამკაცრად) მათი შესრულება საკმარისია მხოლოდ ანალიზური w=u+iv ფუნქციისათვის. ორ მემუარში, რომლებიც დაწერილია 1777 წელს, ხოლო გამოქვეყნებულია 1793, 1794 წლებში, ეილერმა დაამტკიცა მათი აუცილებლობაც. ეს დამოკიდებულებები მრავალჯერ გვხვდება კოშისთან. კოშიმ დიდხანს ვერ დაადგინა რა პირობებს უნდა აკმაყოფილებდნენ განსახილველი ფუნქციები. მხოლოდ სიცოცხლის ბოლო წლებში გამოჰყო მან ანალიზურ ფუნქციათა კლასი.
ეს ტოლობები გამოჩნდნენ რიმანის პირველ დიდ სტატიაში, რომელიც 1851 წელს გამოქვეყნდა და მაშინვე მიიღეს ის მნიშვნელობა, რაც მათ აქვთ თანამედროვე თეორიაში. პირობები, რომლებიც მანამდე ჩანდნენ როგორც უმნიშვნელო და არაარსებითი, რიმანმა საფუძვლად დაუდო ანალიზური ფუნქციის განსაზღვრას და თეორიის აგებას. მან დაადგინა მათი გეომეტრიული არსი, როგორც კონფორმული გადასახვის პირობა, და მათი როლი გეომეტრიასა და მათემატიკურ ფიზიკაში. ამიტომ, მართებულია ამ პირობების დაკავშირება მის სახელთან.
