ბიჰარმონიული ფუნქცია

ბიჰარმონიული ფუნქცია – ევკლიდური Rⁿ (n≥2) სივრცის D არეში განსაზღვრული ნამდვილი ცვლადების u(x)=u(x₁,x₂,...,x_n) ფუნქცია, რომელსაც აქვს უწყვეტი მე-4 რიგამდე ჩათვლით კერძო წარმოებულები და D არეში აკმაყოფილებს განტოლებას ∆² u≡∆(∆ u)=0, სადაც ∆ - ლაპლასის ოპერატორია:

∆ ≡ ∂² /∂x₁² + ∂² /∂x₂² + ⋯ + ∂² /∂x_n².

ამ განტოლებას ეწოდება ბიჰარმონიული განტოლება ბიჰარმონიული ფუნქციების კლასი მოიცავს ჰარმონიული ფუნქციების კლასს. ყოველი ბიჰარმონიული ფუნქცია არის X_i კოორდინატის ანალიზური ფუნქცია. გამოყენების თვალსაზრისით დიდი მნიშვნელობა აქვს ორი ცვლადის u(x,y) ბიჰარმონიულ ფუნქციას:

∆²u ≡ ∂⁴ u/∂x⁴ + 2∂⁴ u/∂x² ∂y² + ∂⁴ u/∂y⁴ = 0.

მაგალითისათვის აღვნიშნოთ, რომ ორი ცვლადის ბიჰარმონიული ფუნქცია შეგვიძლია წარმოვადგინოთ კომპლექსური z=x₁ + ix₂ ცვლადის ორი ანალიზური φ (z) და χ(z) ფუნქციის საშუალებით. ამ მეთოდის გამოყენება ერთ-ერთმა პირველმა აკადემიკოსმა ნ. მუსხელიშვილმა დაიწყო დრეკადობის თეორიის სასაზღვრო ამოცანების ამოსახსნელად. მანვე შემოიღო მრავალი მეთოდი, რომლებსაც წარმატებით იყენებენ მათემატიკისა და მექანიკის სხვადასხვა დარგში.

წყარო

მათემატიკის ენციკლოპედიური ლექსიკონი