ოქროს კვეთი
ოქროს კვეთა – (ინგლ. Golden ratio), – მონაკვეთის სიგრძის (ანუ მთელის) გაყოფა ისეთ ორ არატოლ ნაწილად, როდესაც მთელი ნაწილი ისე შეეფარდება დიდს, როგორც დიდი - მცირეს. მაგალითად, თუ a - მთელი AB მონაკვეთის სიგრძეა, x=AM - მისი დიდი ნაწილი, მაშინ მონაკვეთის ოქროს კვეთა ჩაიწერება პროპორციით: a:x = x:(a-x). ეს პროპორცია ჩაიწერება განტოლების სახით: x2 + ax - a2 =0, რომლის ამოხსნა გვაძლევს მონაკვეთის დიდი ნაწილის სიგრძეს: x= a/2·(√5 - 1) ≈ 0,62a.
მონაკვეთის ოქროს კვეთა უძველეს დროში იყო ცნობილი. მას ჯერ კიდევ პითაგორელები იცნობდნენ. პითაგორელთა მოძღვრებაში ერთმანეთთან უწყვეტად იყო დაკავშირებული სამი ცნება მუსიკა, ჰარმონია და რიცხვი. სამივე იყო პითაგორელთა სულის განწმენდისა და აღზრდის სისტემის არსებითი შემადგენელი ელემენტი. პითაგორელებმა გამოიტანეს დასკვნა, რომ ჰარმონია დამოკიდებულია რიცხვებზე და რიცხვები ყოველთვის განაპირობებენ ნივთებისა და მოვლენების თვისებებს. „საგანთა არსი არის რიცხვი, რომელსაც ყველაფერში შეაქვს ერთიანობა და ჰარმონია“.
პითაგორული მოძღვრების თანახმად რიცხვი გაიგივებული იყო გეომეტრიულ სხეულებთან. ყოველ რიცხვს შეესაბამება გეომეტრიული სხეული, გეომეტრიული სიდიდე. საგნები კი დაიყვანება გეომეტრიულ სიდიდეებზე. ე. ი. რიცხვს ერთდროულად გეომეტრიული განზომილებაც ჰქონდა და პირიქითაც, გეომეტრიულ სხეულებს შეესაბამება რიცხვი პითაგორელთა აზრით ბუნებაში ყველაფერი განიზომება, ყველაფერი რიცხვს ემორჩილება, ყველა ნივთის არსებობა რიცხვშია. სამყაროს, მისი აგებულების და კანონზომიერების შეცნობა ნიშნავს მისი მმართველი რიცხვის შეცნობას.
სიტყვა „მათემატიკა“ პითაგორელების მიერაა შემოღებული. პითაგორელები თავიანთ კვლევას უწოდებდნენ „მათემა“ -ს, რაც ნიშნავს „მეცნიერებას“, რომელსაც ყოფდნენ ოთხ ნაწილად: არითმეტიკა, გეომეტრია, ასტრონომია და ჰარმონია (მუსიკის სწავლება) მთავარი იყო არითმეტიკა - მეცნიერება რიცხვის შესახებ; სწორედ არითმეტიკა ედო საფუძვლად გეომეტრიას, ასტრონომიასა და ჰარმონიას.
მათემატიკის საშუალებით პითაგორამ შეამჩნია, რომ მეცნიერების ძალა და ერთობა დაფუძნებულია იდეალურ საგნებთან ურთიერთობაზე იდეალური ობიექტები (რიცხვებისა და ფიგურების სახით) გვხვდება მხოლოდ მათემატიკურ მსჯელობებში; მხოლოდ მათთვის არის სწორი მკაცრი მეცნიერული დასკვნები. ამიტომ მათემატიკა წარმოადგენს ადამიანისათვის „მეორე ხედვას“, რომელიც გონებას აცნობს იდეალურ ობიექტებს.
პითაგორელთა მოძღვრების თანახმად და კოსმოლოგიური შეხედულებებით სამყარო ერთიანია და ჰარმონიული. სამყარო რიცხვული ჰარმონიაა. პითაგორული რიცხვი და რიცხვთა შეფარდება ამ ჰარმონიის საფუძველია. რიცხვებს საიდუმლო და ღვთაებრივი მნიშვნელობა აქვთ.
პითაგორამ შემოიღო სისტემატური დამტკიცება გეომეტრიაში, ჩამოაყალიბა პლანიმეტრია, მსგავსების თეორია, დაამტკიცა „პითაგორას თეორემა“, ააგო ზოგიერთი წესიერი მრავალკუთხედი და მრავალწახნაგა. პითაგორასათვის ცნობილი იყო სამი წესიერი მრავალწახნაგა: კუბი, ტეტრაედრი და დოდეკაედრი.
დოდეკაედრის გვერდები (წახნაგები) წარმოადგენენ წესიერ ხუთკუთხედებს. წესიერი ხუთკუთხედის დიაგონალები ქმნიან ვარსკვლავისებურ ხუთკუთხედს. ეს ფიგურა, როგორც ჯანმრთელობის სიმბოლო, ჯანმრთელობის ამულეტად ითვლებოდა. პითაგორელებმა სწორედ ის აირჩიეს თავიანთი კავშირის სიმბოლოდ, პითაგორელთა საცნობო ნიშნად.
ხუთქიმიანი ვარსკვლავი - პენტაგრამა - თავისი ფორმის სრულყოფით ყოველთვის იქცევდა ადამიანთა ყურადღებას. თანამედროვეობის მრავალ დროშაზე და გერბზეა გამოსახული ხუთქიმიანი ვარსკვლავი.
პენტაგრამაში აღინიშნება მისი შემადგენელი მონაკვეთების შეფარდებათა საოცარი მუდმივობა. მართლაც (იხ. ნახაზი):
- AD :AC = AC:CD= AB: BC = AD:AE = AE: EC.
ამ ფიგურის სიმეტრიულობის გამო ეს შეფარდებები შეიძლება საკმაოდ გავაგრძელოთ.
როგორც ნახაზიდან ჩანს, AD მონაკვეთს C წერტილი ყოფს ისეთ ორ არატოლ ნაწილად, რომ დიდი AC ნაწილი ისე შეეფარდება მცირე CD ნაწილს, როგორც მთელი AD მონაკვეთი – დიდ AC ნაწილს.
თუ აღვნიშნავთ AD=a, AC=b, მაშინ CD = a – b და გვექნება: a : b = b: (a - b); საიდანაც a2- ab- b2= 0.
თუ შემოვიღებთ აღნიშვნას: a:b = AD : AC= Φ, მივიღებთ: Φ2 – Φ - 1= 0, საიდანაც Φ -ს აქვს ერთადერთი დადებითი მნიშვნელობა:
- Φ = (√5+1)/2 = 1,618034...
ხშირად იხილავენ სიდიდეს:
- φ=1 / Φ = ((√5 - 1)/2 = 0,618034...
φ რიცხვის მნიშვნელობა შეიძლება მიახლოებით გამოისახოს 2/3,3/5,5/8,8/13,13/24,… წილადებითაც, სადა 2, 3, 5, 8, 13, 24, ... -ფიბონაჩის რიცხვებია.
აღნიშვნები Φ და φ შემოღებულია ძველი ბერძენი მოქანდაკის ფიდიას პატივსაცემად, რომელიც ცხოვრობდა ძვ. წ. V საუკუნეში და ხელმძღვანელობდა ათენში პარფენონის ტაძრის მშენებლობას, რომლის პროპორციებში მრავალჯერაა გამოყენებული რიცხვი φ.
ლეონარდო და ვინჩიმ მონაკვეთის გაყოფას Φ შეფარდებით „ოქროს კვეთა“ უწოდა.
არსებობს „ოქროს სამკუთხედიც“, რომელიც წარმოადგენს წესიერი ვარსკვლავისებური ხუთკუთხედის ნაწილს. ასეთია ტოლფერდა სამკუთხედი, სადაც ფერდის სიგრძის შეფარდება ფუძის სიგრძესთან უდრის Φ-ს. ასეთი სამკუთხედის შესანიშნავი თვისება ის არის, რომ ფუძესთან მდებარე კუთხეების ბისექტრისების სიგრძე თვით ფუძის სიგრძის ტოლია. ამ სამკუთხედში წვეროსთან მდებარე კუთხე 36°-ის ტოლია.
არსებობს „ოქროს კუბოიდი“. ეს არის მართკუთხა პარალელეპიპედი, რომლის წიბოებია Φ, 1 და φ. მისი ზედაპირის ფართობია 4 Φ, ხოლო დიაგონალი 2 -ის ტოლია.
ვარსკვლავისებური ხუთკუთხედი ბაბილონურ ნახატებშიც არსებობს.
მრავალი მკვლევარის თვალსაზრისით Φ რიცხვით რიცხვით გამოსახული თანაფარდობა (არქიტექტურაში, მხატვრობაში) ყველაზე სასიამოვნოა თვალისათვის. ლეონარდო და ვინჩი თვლის, რომ ადამიანის სხეულის იდეალური პროპორციები დაკავშირებული უნდა იყოს Φ რიცხვთან. ლეონარდო და ვინჩიმ თავისი ცნობილი „ჯოკონდის“ კომპოზიციაში გამოიყენა „ოქროს სამკუთხედები“.
აღორძინების ეპოქაში ეს ტერმინი დიდი პოპულარობით სარგებლობდა მხატვრების, მოქანდაკეებისა და არქიტექტორების წრეში. ასე, მაგალითად, მხატვრულ პეიზაჟებში ჰორიზონტის ხაზი ტილოს (ნახატს) სიმაღლეში ყოფს დაახლოებით Φ შეფარდებით; ასეთივე შეფარდებით ირჩევდნენ სურათის ზომებს: სიგანის შეფარდება სიმაღლესთან უდრიდა Φ რიცხვს. ასეთ მართკუთხედს „ოქროს მართკუთხედს“ უწოდებენ.
ოქროს კვეთა გამოიყენა ქართველმა მხატვარმა სერგო ქობულაძემ, როდესაც თბილისის ოპერისა და ბალეტის თეატრისათვის 1961 წელს მოხატა სცენის საზეიმო დეკორაციული ფარდა. სერგო ქობულაძის მიერ არის აგრეთვე გამოკვლეული და დასაბუთებული, რომ მცხეთის ჯვრის დიდებული ტაძარი ოქროს კვეთის პროპორციის მიხედვით არის აგებული.
ოქროს კვეთა ბუნებაშიც გვხვდება – ნიჟარის სახით.
პირველი ლიტერატურული წყარო, სადაც გვხვდება ოქროს კვეთა, ევკლიდეს „საწყისებია“. საწყისების II წიგნში მოცემულია აგება, რომელიც ტოლფასია ზემოთ მოცემული განტოლების ამოხსნისა. „საწყისების“ IV და XII წიგნებში მონაკვეთის ოქროს კვეთა გამოყენებულია წესიერი ხუთ- და ათკუთხედის ასაგებად. სტერეომეტრიაში ოქროს კვეთას ევკლიდე იყენებს წესიერი თორმეტ- და ოცწახნაგების ასაგებად.
XV საუკუნეში დაიწერა სპეციალური წიგნი ოქროს კვეთის შესახებ, რომელსაც მისმა ავტორმა, გამოჩენილმა მათემატიკოსმა ლუკა პაჩოლიმ „ღვთაებრივი პროპორცია“ უწოდა; ამ წიგნის ერთ-ერთი სულისჩამდგმელი და გამფორმებელი ლეონარდო და ვინჩი იყო. ოქროს კვეთა გვხვდება ბუნებასა და ხელოვნებაში. არც კომპოზიტორები და პოეტები დარჩენილან „გულგრილნი“ ოქროს კვეთის მიმართ. როგორც გამოჩენილი ქართველი მეცნიერი გიორგი წერეთელი აღნიშნავს - „პოეზიაში რუსთაველი პირველია მსოფლიოში და შეიძლება ერთადერთი, რომელმაც ოქროს კვეთაზე ააგო ესოდენ დიდი მოცულობის პოეტური ნაწარმოები. მისი პოემის 1587 სტროფიდან 863 ოქროს კვეთაზეა აგებული. რუსთაველმა პოეზიაში მოგვცა სრულყოფილი სიმეტრია, მსგავსად იმისა, როგორც ტიციანმა, რაფაელმა და ლეონარდო და ვინჩიმ მხატვრობასა და საერთოდ ხელოვნებაში“ (გ. წერეთელი - „მეტრი და რითმა „ვეფხისტყაოსანში“).
