წრფის განტოლება
წრფის განტოლება სხვადასხვა სახით დეკარტის კოორდინატებში ს ი ბ რ ტ ყ ე ზ ე.
1) ზოგადი სახის. Ax+By+C=0. (1)
A და B ერთდროულად არ უდრიან ნულს.
2) საკუთხო კოეფიციენტით. წრფე ადგენს φ კუთხეს 0x ღერძის დადებით მიმართულებასთან და კვეთს 0y ღერძს (0,b) წერტილში.
- y = kx + b, k = tgφ. (2)
k -ს ეწოდება საკუთხო კოეფიციენტი.
3) ღერძთა მონაკვეთებში. წრფე კვეთს Ox ღერძს (a,0) წერტილში და 0y ღერძს (0,b) წერტილში:
4) ნორმალური სახის განტოლება. x cos θ + y sinθ - p = 0, (4)
სადაც P – კოორდინატთა სათავიდან წრფეზე დაშვებული პერპენდიკულარის სიგრძეა, ხოლო θ – კუთხე 0x ღერძის დადებით მიმართულებასა და პერპენდიკულარს შორის.
ნორმალური სახის (4) განტოლება შეიძლება მიღებული იქნას ზოგადი სახის (1) განტოლებიდანაც, თუ მას გავამრავლებთ მაინტეგრებელ μ მამრავლზე
μ -ს და C-ს ნიშნები ურთიერთსაწინააღმდეგო აქვთ.
თუ წრფის განტოლება მოცემულია ზოგადი სახით, მაშინ არსებობს დამოკიდებულებები:
- (2)-ში: k = - A/B, φ = θ - π/2, როცა k>0; φ = θ + π/2, როცა k<0.
- (3)-ში: a = -C/A, b = -C/B;
5) წრფეთა კონის განტოლება ცენტრით M(x0, y0) წერტილში:
- y - y0 = k (x - x0). (5)
6) მოცემულ ორ M1 (x1, y1) და M2 (x2, y2) წერტილზე გამავალი წრფის განტოლება:
7) მანძილი M0 (x0, y0) წერტილიდან Ax + By + C = 0 წრფემდე:
ხოლო (4) სახით მოცემულ x cos θ + y sinθ − p = 0 წრფემდე
- δ = x0 cos θ + y0 sinθ − p.
8) კუთხე ორ მოცემულ წრფეს შორის:
9) ორი წრფე იკვეთება ერთ წერტილში, როცა
10) ორი წრფის პარალელობის პირობა:
11) ორი წრფის ურთიერთპერპენდიკულარობის პირობა:
- A1A2 + B1B2 = 0, ან k1k2 = - 1. (11)
ს ი ვ რ ც ე შ ი
12) ზოგადი სახის: წრფე, როგორც ორი სიბრტყის თანაკვეთა:
13) მოცემულ ორ M1(x1, y1, z1) და M2 (x2, y2, z2) წერტილზე გამავალი წრფის განტოლება:
14) მოცემულ M1(x1, y1, z1) წერტილზე გამავალი და მიმმართველი (ℓ, m, n) ვექტორის პარალელური წრფის განტოლება:
ან x = x1 + ℓt, y = y1 + mt, z = z1 + nt (პარამეტრული განტოლება).
15) კუთხე ორ მოცემულ წრფეს შორის:
თუ წრფეთა განტოლებები მოცემულია (14) ფორმით, მაშინ
16) ორი წრფის პარალელობის პირობა:
17) ორი წრფის ურთიერთპერპენდიკულარობის პირობა:
- l1l2 + m1m2 + n1n2 = 0. (17)
პირველად პ. ფერმამ (1636) გამოთქვა შენიშვნა, რომ ნებისმიერი პირველი ხარისხის ორი ცვლადის განტოლება არის წრფის განტოლება. ამ ფაქტის დამტკიცება მოგვცა ი. დე ვიტომ (1658-1659). წრფის ნორმალური განტოლება ო. კოშისთან გვხვდება, მაგრამ საყოველთაო ხმარებაში შემოვიდა ო. გესეს გეომეტრიის სახელმძღვანელოს გამოსვლის შემდეგ (1861). კანონიკური ფორმით წრფის განტოლება სივრცეში შემოიღო ო. კოშიმ.