მათემატიკური ნიშნები
მათემატიკური ნიშნები – პირობითი აღნიშვნები (სიმბოლოები), რომლებსაც იყენებენ მათემატიკური ცნებების, წინადადებებისა და გამოთვლების ჩასაწერად.
მათემატიკურმა ნიშნებმა განვითარების საკმაოდ ხანგრძლივი და რთული ისტორია განვლეს. მრავალი ათეული წელი, ზოგჯერ საუკუნეც კი სჭირდებოდა ამა თუ იმ მოსახერხებელი სიმბოლოს შექმნას. მოხერხებულად შერჩეულმა მათემატიკურმა ნიშანმა შეიძლება ხელი შეუწყოს მათემატიკური ცოდნის ამა თუ იმ დარგის განვითარებას (ამის შესანიშნავი მაგალითია ტენზორული აღრიცხვა, რომელიც წარმატებით განვითარდა XIX საუკუნეში შექმნილი სიმბოლიკის წყალობით).
პირველი მათემატიკური ნიშნებია რიცხვების გამომსახველი ციფრები, რომლებიც, როგორც ჩანს, დამწერლობაზე ადრე შეიქმნა. უძველესი ნუმერაციის სისტემები (ბაბილონური და ეგვიპტური) შეიქმნა ჯერ კიდევ სამი ათასწლეულით ადრე ჩვ. წელთაღრიცხვამდე. ასოითი აღრიცხვის საწყისები ჩაისახა გვიანდელ ელინისტურ ეპოქაში. თანამედროვე ალგებრული სიმბოლიკა შექმნილია XIV-XVII საუკუნეებში. XVI-XVII საუკუნეებში ხმარებაში შემოდის ტოლობისა და ფრჩხილების ნიშნები: კვადრატული (რ. ბომბელი, 1550), მრგვალი (ნ. ტარტალია, 1556), ფიგურული (ფ. ვიეტა, 1593). მათემატიკური სიმბოლიკის განვითარებაში მნიშვნელოვანი როლი შეასრულა ფ. ვიეტის მიერ შემოტანილმა მათემატიკურმა ნიშნებმა, რომელთა საშუალებითაც ნებისმიერი მუდმივი სიდიდეები აღინიშნებოდა ლათინური ანბანის მთავრული ასოებით. ამან ფ. ვიეტს ნამდვილკოეფიციენტებიანი ალგებრული განტოლების ჩაწერისა და მათზე ოპერაციების საშუალება მისცა. ალგებრის ნიშნებს თანამედროვე სახე მისცა დეკარტმა (1637); მანვე შემოიღო ხარისხის ჩაწერა.
მათემატიკური ნიშნების შემდგომი განვითარება მჭიდროდაა დაკავშირებული უსასრულოდ მცირეთა ანალიზის შექმნასთან.
მათემატიკური ნიშნები ძირითადად სამ ჯგუფად იყოფა:
- 1) მათემატიკური ობიექტების ნიშნები;
- 2) სხვადასხვა ოპერაციის (მოქმედებების) ნიშნები;
- 3) ყველა შესაძლო დამოკიდებულების (მიმართების) ნიშნები.
წერტილებს ჩვეულებრივ აღნიშნავენ ლათინური ალფაბეტის მთავრული ასოებით A, B, C,...; AB მონაკვეთს აღნიშნავენ [AB], ხოლო მის სიგრძეს |AB| ნიშნებით.
მათემატიკური ობიექტების ნიშნებია: ∞, e, π, i, x, y, z, i ̇ ⃗,J ̇ ⃗,k ⃗,r ⃗ და ა.შ.
მათემატიკური ოპერაციების ნიშნებია +, –, ×, : , · , √ , dx, lim, ! , a2, y', ∫, ∂/∂x და ა.შ.
შესაძლო დამოკიდებულებების ნიშნებია: =, >, <, ⊥, ϵ და ა.შ.
ქვემოთ მოცემულია ზოგიერთი მათემატიკური ნიშანი, მათი მნიშვნელობა, ვინ შემოიღო და როდის:
| ნიშანი | მნიშვნელობა | ვინ შემოიღო | შემოღების წელი | ||
|---|---|---|---|---|---|
| ობიექტების ნიშნები | |||||
| ∞ | უსასრულობა | ჯ. უოლისი | 1655 | ||
| π | წრეწირის სიგრძის შეფარდება დიამეტრთან |
უ. ჯონსი ლ. ეილერი |
1706 1736 | ||
| e | ნატურალური ლოგარითმის ფუძე | ლ. ეილერი | 1736 | ||
| i | კვადრატული ფესვი –1 - დან | ლ. ეილერი | 1777 | ||
| x,y,z | უცნობი ან ცვლადი სიდიდეები | რ. დეკარტი | 1637 | ||
| r ⃗ | ვექტორი | ო. კოში | 1853 | ||
| i ̇ ⃗, j ̇ ⃗, k ⃗ | ერთეული ვექტორები, ორტები | უ. ჰამილტონი | 1853 | ||
| მაგალითი | მაგალითი | მაგალითი | მაგალითი | ||
| მაგალითი | მაგალითი | მაგალითი | მაგალითი | ||
| მაგალითი | მაგალითი | მაგალითი | მაგალითი | ||
| მაგალითი | მაგალითი | მაგალითი | მაგალითი | ||
| მაგალითი | მაგალითი | მაგალითი | მაგალითი | ||
| მაგალითი | მაგალითი | მაგალითი | მაგალითი | ||
| მაგალითი | მაგალითი | მაგალითი | მაგალითი | ||
| მაგალითი | მაგალითი | მაგალითი | მაგალითი | ||
| მაგალითი | მაგალითი | მაგალითი | მაგალითი | ||
| მაგალითი | მაგალითი | მაგალითი | მაგალითი | ||
| მაგალითი | მაგალითი | მაგალითი | მაგალითი | ||
| მაგალითი | მაგალითი | მაგალითი | მაგალითი | ||
| მაგალითი | მაგალითი | მაგალითი | მაგალითი | ||
| მაგალითი | მაგალითი | მაგალითი | მაგალითი | ||
| მაგალითი | მაგალითი | მაგალითი | მაგალითი | ||
| მაგალითი | მაგალითი | მაგალითი | მაგალითი | ||
| მაგალითი | მაგალითი | მაგალითი | მაგალითი |
ოპერაციების (მოქმედების) ნიშნები
+ შეკრება გერმანელი XV ს-ის. ბოლოს - გამოკლება მათემატიკოსები
× გამრავლება უ. ოტრედი 1631 • გამრავლება გ. ლაიბნიცი 1684
- გაყოფა
გ. ლაიბნიცი 1698
a^2,a^3,...,a^n ხარისხები რ. დეკარტი ი. ნიუტონი 1637 1676 √,∛ ფესვი ქ. რუდოლფი ა. ჟირარი 1525 1629 Log ლოგარითმი ი. კეპლერი 1624
log ლოგარითმი ბ. კავალიერი 1632 sin სინუსი ლ. ეილერი 1748 COS კოსინუსი ლ. ეილერი 1748
tg ტანგენსი ლ. ეილერი 1753 arcsin არკსინუსი ჟ. ლაგრანჟი 1772 dx, ddx,..., d^2x, d^3x დიფერენციალი გ. ლაიბნიცი 1675
∫ y dx ინტეგრალი გ. ლაიბნიც 1675
dy/dx წარმოებული გ. ლაიბნიცი 1675
∫_a^b▒〖f(x) dx〗 განსაზღვრული ინტეგრალი ჟ. ფურიე 1819-1822
∑ ჯამი ლ. ეილერი 1755
! ფაქტორიალი ხ. კრამპი 1808
lim ზღვარი ს. ლიუილი 1786
lim/(n=∞) ზღვარი უ. ჰამილტონი 1853
lim/(n→∞) ზღვარი მრავალი მათემატიკოსი XX ს. φ x ფუნქცია ი. ბერნული 1718
f(x) ფუნქცია ლ. ეილერი 1734
f'x, y', f'(x) წარმოებული ჟ. ლაგრანჟი 1770-1779
∆x სხვაობა ლ. ეილერი 1755
∂/∂x კერძო წარმოებული ა. ლეჟანდრი 1786
∏ ნამრავლი კ. გაუსი 1812
|x| მოდული კ. ვაიერშტრასი 1841
sh ჰიპერბოლური სინუსი ვ. რიკატი 1757
ch ჰიპერბოლური კოსინუსი ვ. რიკატი 1757
ζ ძეტა – ფუნქცია ბ. რიმანი 1857
Γ გამა – ფუნქცია ა. ლეჟანდრი 1808
Β ბეტა – ფუნქცია ჟ. ბინე 1839
Δ დელტა (ლაპლასის ოპერატორი) რ. მერფი 1833
∇ ნაბლა (ჰამილტონის ოპერატორი) უ. ჰამილტონი 1853
დამოკიდეგულების (მიმართების) ნიშნები
= ტოლობა რ. რეკორდი 1557
> მეტი ტ. ჰერიოტი 1631
< ნაკლები ტ. ჰერიოტი 1631
≡ იგივეობა, შესადარობა კ. გაუსი 1801
| | პარალელურობა უ. ოუტრედი 1677 ⊥ პერპენდიკულარობა პ. ერიგონი 1634
რიცხვთა სიმრავლის ნიშნები:
N - ნატურალურ რიცხვთა სიმრავლე,
Z - ყველა მთელ რიცხვთა სიმრავლე,
Q - ყველა რაციონალურ რიცხვთა სიმრავლე, R - ყველა ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლე.
გეომეტრიული ფიგურებისათვის და ცნებებისათვის ზოგიერთი ნიშანი და აღნიშვნა შემოღებული იქნა შუა საუკუნეებში და აღორძინების ეპოქაში (Δ – სამკუთხედი, □ – მართკუთხედი, O – წრეწირი, ⊥- პერპენდიკულარული, L – მართი კუთხე, ᴗ – რკალი, ∞ – მსგავსი, ∠ – კუთხე და სხვ.). კერძოდ, შუა საუკუნეებში პარალელურობა აღინიშნებოდა = ნიშნით. მხოლოდ XVII ს-ში, მას შემდეგ, რაც ეს ნიშანი რ. რეკორდის მიერ 1557 წელს შემოღებული იქნა ტოლობის აღსანიშნავად, პარალელურობას აღნიშნავენ || ნიშნით.
თავის „გეომეტრიის საფუძვლებში“ ჰილბერტი წერტილებს აღნიშნავს დიდი ლათინური ასოებით (A,B,C,...), წრფეებს - პატარა ლათინური ასოებით (a,b,c,...), სიბრტყეებს - ბერძნული ასოებით (α,β,γ,...), კუთხეებს ნიშნით ∠ (∠ABC).
ამჟამად გეომეტრიაში გამოიყენება თანამედროვე მათემატიკური სიმბოლოები, რომლებიც XIX ს-ის ბოლოს და XX ს-ის დასაწყისში იქნა შემოღებული სიმრავლეთა თეორიაში და მათემატიკურ ლოგიკაში. ამ აღნიშვნების უმრავლესობა შემოღებულია ჯ. პეანოს მიერ. აი ზოგიერთი მათგანი :
∈ – მიკუთვნების ნიშანი;
∉ ან ∈ – არ მიკუთვნების ნიშანი;
~ – ორი სიმრავლის ექვივალენტობის ნიშანი;
∪ – ორი სიმრავლის გაერთიანების ნიშანი;
⋂ – ორი სიმრავლის თანაკვეთის ნიშანი;
∨ – დიზიუნქციის ნიშანი (იხ. დიზიუნქცია);
∧ – კონიუნქციის ნიშანი (იხ. კონიუნქცია)
⊂,⊃ – ჩართვის ნიშანი; ეს ნიშნები ანალოგიურია ალგებრაში უტოლობის (<, >) ნიშნებისა.
∀ – ნიშანი „ყველასათვის“ (ზოგადობის კვანტორი). მაგალითად: ∀Bϵa ნიშნავს: ნებისმიერი B წერტილისათვის, რომელიც ეკუთვნის a წრფეს. (∀ – გადაბრუნებული ასო A, პირველი ასო გერმანული სიტყვისა Alle – ყველა).
∃ – არსებობის კვანტორი. მაგალითად: ∃A∉a ნიშნავს: არსებობს A წერტილი, რომელიც არ ეკუთვნის a წრფეს. (∃ – გადაბრუნებული ასო E , პირველი ასო გერმანული სიტყვისა Existieren – არსებობა)
→ (ან ⇒) – იმპლიკაციის (შედეგის) ნიშანი: (იხ. იმპლიკაცია). ← (ან ˥– შებრუნებული იმპლიკაციის (შედეგის) ნიშანი: → (ან ⇔) – ტოლძალოვნების ნიშანი. ˥ – უარყოფის ნიშანი (˥P ნიშნავს P –ს უარყოფას)
