ლაპლასის გარდაქმნა

15:33, 7 დეკემბერი 2023-ის ვერსია

ლაპლასის გარდაქმნა (ლაპლასის ინტეგრალი) – გარდაქმნა, რომელიც ნამდვილი t ცვლადის (0 < t < ∞) f(t) ფუნქციას („ორიგინალს“) გარდაქმნის კომპლექსური p = σ + iτ ცვლადის F(p) ფუნქციად:

F (P) = L [f] = f(t) e^-pt dt.

ამ გარდაქმნაში გულისხმობენ არა მხოლოდ გარდაქმნას, არამედ მის შედეგსაც - F(p) ფუნქციას. ლაპლასის გარდაქმნა არის ინტეგრალური გარდაქმნის კერძო სახე.

ლაპლასმა გარდაქმნა შემოიღო ორი ფორმით (1782):

F(p) = t P f (t) dt

და

F(p) = e-pt f (t) dt.

მან ეს მეთოდი განავითარა მემუარების ციკლში (1788 -1812) და აჩვენა, რომ იგი შეიძლება გამოყენებულ იქნას n რიგის განტოლებებისათვის.

ლაპლასის გარდაქმნა წრფივი ფუნქციონალური გარდაქმნაა.

გარკვეულ პირობებში ლაპლასის გარდაქმნა f (t) ფუნქციას განსაზღვრავს ცალსახად. უმარტივეს შემთხვევაში შებრუნების ფორმულით:

ლაპლასი არ ისახავდა მიზნად მოცემული გარდაქმნის შებრუნების (შექცევის) ამოცანას. ლაპლასის გარდაქმნის შებრუნება ეკუთვნის ინგლისელ მათემატიკოსს მერფის (1833). ლაპლასის მეთოდი განავითარეს ლაკრუამ, პუასონმა და კოშიმ (1827). ამ მეთოდს ზოგჯერ იყენებს ეილერიც თავის შრომებში (1737, 1744, 1759, 1763). ლაპლასის გარდაქმნას იყენებენ დიფერენციალურ განტოლებათა ინტეგრების დროს. ამასთანავე, ელექტროტექნიკის, ჰიდროდინამიკის, მექანიკური სითბოგამტარობის მრავალრიცხოვანი ამოცანა ეფექტურად ამოიხსნება იმ მეთოდებით, რომლებშიც ლაპლასის გარდაქმნაა გამოყენებული.

სახელწოდება „ლაპლასის გარდაქმნა“ შემოიღო პუანკარემ.

წყარო

მათემატიკის ენციკლოპედიური ლექსიკონი